齐鲁名校教科研协作体山东省、湖北省部分重点中学20xx届高三下学期高考冲刺模拟二数学理试题

齐鲁名校教科研协作体山东省、湖北省部分重点中学20xx届高三下学期高考冲刺模拟二数学理试题内容摘要：

三．解答题（共 6小题共 75 分，） 16． (改编，中档 )（本题 12分）已知向量 ( c o s( ) , si n ( ) )22a x x  ， ( si n , 3 si n )b x x ，f（ x） =ab ． （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期及 f（ x）的最大值； （ 2）在锐角三角形 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） =1， a=2 ，求三角形 ABC面积的最大值． 【解答】解：（ 1）易得 ( sin , cos )a x x ，则 f（ x） = 2si n 3 si n c osa b x x x   = ﹣cos2x+ sin2x =sin（ 2x﹣ ） ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3分 ∴ f（ x）的最小正周期 T= =π ，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分 当 2 2 ,62x k k Z    时，即 , ( )3x k k Z   ， f（ x）取最大值是 ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 （ 2）∵ f（ ） =sin（ A﹣ ） + =1，∴ sin（ A﹣ ） = ，∴ A= ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分 ∵ a2=b2+c2﹣ 2bccosA，∴ 12=b2+c2﹣ bc，∴ b2+c2=12+bc≥ 2bc，∴ bc≤ 12． (当且仅当 b=c 时等号成立 )┅┅ ┅ 10分 ∴ S= = bc≤ 3 ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 11分 ∴当三角形 ABC为等边三解形时面积的取最大值是 3 ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12分 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象，解三角形 17． (选编，中档题 )集成电路 E由 3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为 ， ， ，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有 2 个正常工作，则 E 能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路 E所需费用为 100元． （ Ⅰ ）求集成电路 E需要维修的概率； （ Ⅱ ）若 某电子设备共由 2个集成电路 E组成，设 X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求 X的分布列和期望． 【解答】解：（ Ⅰ ）三个电子元件能正常工作分别记为事件 A， B， C，则 P（ A） = ， P（ B）= ， P（ C） = ． 依题意，集成电路 E需要维修有两种情形： ① 3个元件都不能正常工作，概率为 P1=P（ ） =P（ ） P（ ） P（ ） = = ．┅┅┅ 2分 ② 3个元件中的 2个不能正常工作，概率为 P2=P（ A ） +P（ B ） +P（ C）┅┅┅ 4分 = + + = ． 所以，集成电路 E需要维修的概率为 P1+P2= + = ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分 （ Ⅱ ）设 ξ 为维修集成电路的个数，则 ξ 服从 B（ 2， ），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8分 而 X=100ξ ， P（ X=100ξ ） =P（ ξ=k ） = • • ， k=0， 1， 2． X的分布列为： X 0 100 200 P ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10分 ∴ EX=0 +100 +200 = ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 12 分 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 ；离散型随机变量的期望与方差． 18．（选编，中档题）（本小题满分 12分） 圆 O上两点 C， D在直径 AB的两侧（如图甲），沿直径 AB将圆 O折起形成一个二面角（如图乙），若∠ DOB的平分线交弧 于点 G，交弦 BD于点 E， F为线段 BC 的中点． （Ⅰ）证明：平面 OGF∥平面 CAD；（Ⅱ）若二面角 C﹣ AB﹣ D为直二面角，且 AB=2，∠ CAB=45176。 ，∠ DAB=60176。 ，求直线 FG与平面 BCD所成角的正弦值． 【解答】证明： （Ⅰ）∵ OF为△ ABC 的一条中位线，∴ OF∥ AC，又 OF⊄平面 ACD， AC⊂平面 ACD， ∴ OF∥平面 ACD． 又∵ OG为∠ DOB的平分线，∴ OG⊥ BD，∵ AB是⊙ O的直径，∴ AD⊥ BD， ∴ OG∥ AD，又 OG⊄平面 ACD， AD⊂平面 ACD，∴ OG∥平面 ACD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又∵ OG， OF为平面 OGF内的两条相交直线， ∴平面 OGF∥平面 CAD．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5分 （Ⅱ）∵ O为 AB的中点，∴ CO⊥ AB，∵平面 CAB⊥平面 DAB，平面 CAB∩平面 DAB=AB， OC⊂平面 ABC， ∴ CO⊥平面 DAB，又 Rt△ DAB中， AB=2，∠ DAB=60176。 ，∴ AD=1，又 OG∥ AD， OG=1， OA=1， ∴四边形 ADGO为菱形，∠ AOG=120176。 ，设 DG中点为 M，则∠ AOM=90176。 ，即 OM⊥ OB， ∴直线 OM， OB， OC两两垂直，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7分 以 O为原点，以 OM， OB， O。