辽宁省葫芦岛市20xx届高考数学一模试卷理科

辽宁省葫芦岛市20xx届高考数学一模试卷理科内容摘要：

可得： φ ． 令 ，解得： ω= ． 故选： A． 【点评】 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数特性，相邻的两个单调相反的区间存在值相等，属于中档题． 10．设 f（ x） = ，直线 x=0， x=e， y=0， y=1 所围成的区域为 M， 曲线 y=f（ x）与直线 y=1 围成的区域为 N，在区域 M 内任取一个点 P，则点 P在区域 N 内概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】 几何概型． 【分析】 首先分别求出两个区域的面积，利用几何概型 的公式得到所求． 【解答】 解：由题意，区域 M 为长为 e，宽为 1 的矩形，面积为 e， 曲线 y=f（ x）与直线 y=1 围成的区域为 N，面积为 e﹣ ，其中，设 t=lnx，则 =1； 所以曲线 y=f（ x）与直线 y=1 围成的区域为 N，面积为 e﹣ =e﹣ ﹣ 1=e﹣ ， 由几何概型的公式得到 ； 故选 A． 【点评】 本题考查了几何概型的概率求法；关键是利用定积分求出曲线 y=f（ x）与直线 y=1 围成的区域为 N． 11．已知 F 是双曲线 E： ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的右焦点，过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线，垂足为 P，线段 PF 与 E 相交于点 Q，记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为 d2，若 |FP|=2d，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． 2 C． 3 D． 4 【考点】 双曲线的简单性质． 【 分 析 】 E 上 任 意 一 点 Q （ x ， y ） 到 两 条 渐 近 线 的 距 离 之 积 为d1d2= = =d2 ， F （ c ， 0 ）到渐近线 bx﹣ ay=0 的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率． 【解答】 解： E 上任意一点 Q（ x， y）到两条渐近线的距离之积为 d1d2= = =d2， F（ c， 0）到渐近线 bx﹣ ay=0 的距离为 =b=2d， ∴ ， ∴ e= =2， 故选 B． 【点评】 本题 考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题． 12．给出如下四个命题： ① e ＞ 2② ln2＞ ③ π2＜ 3π④ ＜ ，正确的命题的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【考点】 不等式比较大小． 【分析】 ① 利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断， ②根据对数的运算性质即可判断， ③ 利用中间量即可判断， ④ 两边取对数即可判断． 【解答】 解： ① 要证 e ＞ 2，只要证 ＞ ln2，即 2＞ eln2， 设 f（ x） =elnx﹣ x， x＞ 0， ∴ f′（ x） = ﹣ 1= ， 当 0＜ x＜ e 时， f′（ x） ＞ 0，函数单调递增， 当 x＞ e 时， f′（ x） ＜ 0，函数单调递减， ∴ f（ x） ＜ f（ e） =elne﹣ e=0， ∴ f（ 2） =eln2﹣ 2＜ 0， 即 2＞ eln2， ∴ e ＞ 2，因此正确 ②∵ 3ln2=ln8＞ ＞ lne2=2． ∴ ln2＞ ，因此正确， ③ π2＜ 42=16， 3π＞ 33=27，因此 π2＜ 3π， ③ 正确， ④∵ 2π＜ π2， ∴ ＜ ， ④ 正确； 正确的命题的个数为 4 个， 故选： D． 【点评】 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本大 题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知平面向量 与 的夹角为 120176。 ，且 | |=2， | |=4，若（ m ） ⊥ ，则m= 1 ． 【考点】 平面向量数量积的运算． 【分析】 由已知求出 的值，再由（ m ） ⊥ ，得（ m ） • =0，展开后得答案． 【解答】 解： ∵ 向量 与 的夹角为 120176。 ，且 | |=2， | |=4， ∴ ， 又（ m ） ⊥ ， ∴ （ m ） • = ，解得 m=1． 故答案为： 1． 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题． 14．（ x﹣ ） n 的展开式中，所有二项式系数之和为 512，则展开式中 x3的系数为 126 （用数字作答）． 【考点】 二项式定理的应用． 【分析】 先由条件求得 n=9，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 3，求出 r 的值，即可求得展开式中 x3的系数． 【解答】 解：由题意 2n=512，则 n=9，通项公式为 Tr+1= •（﹣ 1） r• ， 令 9﹣ r=3，求得 r=4，可得该展开式中 x3的系数 =126， 故答案为： 126． 【点评】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数 的性质，属于基础题． 15 ．已知数 列 {an} 满 足 ： 2a1+22a2+23a3+… +2nan=n （ n ∈ N* ），数列{ }的前 n 项和为 Sn，则 S1•S2•S3…S 10= ． 【考点】 数列递推式；数列的求和． 【分析】 根据 2a1+22a2+23a3+… +2nan=n，求出 an= ，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到 = ﹣ ，裂项求和得到 Sn，代值计算即可． 【解答】 解： ∵ 2a1+22a2+23a3+… +2nan=n， ∴ 2a1+22a2+23a3+… +2n﹣ 1an﹣ 1=n﹣ 1， ∴ 2nan=1， ∴ an= ， ∴ = = = ﹣ ， ∴ Sn=1﹣ + ﹣ +… + ﹣ =1﹣ = ， ∴ S1•S2•S3…S 10= … = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题． 16．设实数 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是 [ ，﹣1） ∪ （﹣ 1， 0] ． 【考点】 简单线性规划． 【分析】 由 约 束 条 件 作 出 可 行 域 ， 由 = = ．令 k= ，则= ． 由图求出 k 的范围，再由基本不等式求得答案． 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， = = ． 令 k= ，则 = ． 由图可知， k≤ ﹣ 1 或 k≥ 1． 当 k≥ 1 时， k+ ≥ 2， ∈ （﹣ 1， 0]； 当 k≤ ﹣ 1 时，﹣ k ≥ 2， ∈ [ ，﹣ 1）． ∴ 的取值范围是 [ ，﹣ 1） ∪ （﹣ 1， 0]． 故答案为： [ ，﹣ 1） ∪ （﹣ 1， 0]． 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是难题． 三、解答题：本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（ 12 分）（ 2017•葫芦岛一模）已知 a， b， c 分别为 △ ABC 中角 A， B， C的对边，函数 且 f（ A） =5． （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=2，求 △ ABC 面积的最大值． 【考点】 余弦定理． 【分析】 （ 1）利用三角恒等变换求得 f（ A）的解析式，由 f（ A） =5 求得 sin（ 2A+ ） 的值，从而求得 2A+ 的值，可得 A 的值． （ 2）利用余弦定理，基本不等式，求得 bc 的最大值，可得 △ ABC 面积 bc•sinA的最大值． 【解答】 解：（ 1）由题意可得： =3+ sin2A+cos2A+1=4+2sin（ 2A+ ）， ∴ sin（ 2A+ ） = ， ∵ A∈ （ 0， π）， ∴ 2A+ ∈ （ ， ）， ∴ 2A+ = ， ∴ A= ． （ 2）由余弦定理可得： ， 即 4=b2+c2﹣ bc≥ bc（当且仅当 b=c=2 时 “=”成立），即 bc≤ 4， ∴ ， 故 △ ABC 面积的最大值是 ． 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题． 18．（ 12 分）（ 2017•葫芦岛一模）如图，四棱锥 S﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB∥ CD， BC⊥ CD，平面 SCD⊥ 平面 ABCD， SC=SD=C。