湖南20xx届高三下学期月考七数学理试题

湖南20xx届高三下学期月考七数学理试题内容摘要：

x)＝ 3x2＋ 2ax＋ b， 由题意 f′( x)＝ 3x2＋ 2ax＋ b≤0 在 (－ 1， 0)上恒成立 ，所以f′ （－ 1）＝ 3－ 2a＋ b≤0f′ （ 0）＝ b≤0 ， 显然点 (a， b)在直线 3－ 2a＋ b＝ 0的右下方及 a轴下方 (如 图 )， 点 (a， b)到原点的距离最小值为 3（－ 2） 2＋ 12＝ 35， 无最大值 ， 因此 a2＋ b2的最小值为 95. (16)设函数 f(x)＝ ax＋ bx－ cx，其中 ca0， cb0. 若 a， b， c 是 △ ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 __①②③ __． (写出所有正确结论的序号 ) x∈ (－ ∞ ， 1)， f(x)0； x0∈ R，使 ax0， bx0， cx0不能构成一个三角形的三条边长； ③若 △ ABC x0∈ (1， 2)，使 f(x0)＝ 0； ④若 △ ABC n∈ N*， f(2n)0恒成立． 【解析】 ① 因为 a， b， c是三角形的三条边长 ， 所以 a＋ bc. 又因为 ca0， cb0， 所以 0ac1， 0bc1， 所以当 x∈( － ∞ ， 1)时 ， f(x)＝ cx  acx＋  bcx－ 1 cx ac＋bc－ 1 ＝ cx a＋ b－ cc 0. 故 ① 正确． ②令 a＝ 2， b＝ 3， c＝ 4， 则 a， b， c 可以构成三角形的三边长 ， 但 a2＝ 4， b2＝ 9， c2＝ 16却不能构成三角形的三边长 ， 故 ② 正确． ③因为 ca0， cb0， 且 △ ABC为钝角三角形 ， 所以 a2＋ b2－ c20， 于是 f(1)＝ a＋ b－ c0， f(2)＝ a2＋ b2－ c20. 故函数 f(x)在区间 (1， 2)内存在零点 ， 故 ③ 正确． ④若 △ ABC为直角三角形 ， 由题意得 ， c2＝ a2＋ b2， 对于 n∈ N*， f(2n)＝ a2n＋ b2n－ c2n＝ a2n＋ b2n－ (a2＋ b2)n≤ ④ 不正确． 综上 ， 正确结论的序号为 ①②③. 三、解答题：本大题共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分 12 分 ) 已知等差数列 {an}中， a2＝ 6， a3＋ a6＝ 27. (Ⅰ) 求数列 {an}的通项公式； (Ⅱ) 记数列 {an}的前 n项和为 Sn，且 Tn＝ Sn3 2n－ 1，若对于一切正整数 n，总有 Tn≤ m 成 立，求实数 m的取值范围． 【解析】 (Ⅰ) 设公差为 d， 由题意得： a1＋ d＝ 6，2a1＋ 7d＝ 27， 解得 a1＝ 3，d＝ 3， ∴ an＝ (Ⅱ)∵ Sn＝ 3(1＋ 2＋ 3＋ „ ＋ n)＝ 32n(n＋ 1)， ∴ Tn＝ n（ n＋ 1）2n ， 8分 ∴ Tn＋ 1－ Tn＝ （ n＋ 1）（ n＋ 2）2n＋ 1 － n（ n＋ 1）2n ＝ （ n＋ 1）（ 2－ n）2n＋ 1 ， ∴当 n≥3 时 ， TnTn＋ 1， 且 T1＝ 1T2＝ T3＝ 32， ∴ Tn的最大值是 32， 故 m≥ (18)(本小题满分 12 分 ) 在 10件产品中，有 3件一等品， 4件二等品， 3件三等品．从这 10件产品中任取 3件，求： (Ⅰ) 取出的 3件产品中一等品件数 X的分布列和数学期望； (Ⅱ) 取出的 3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 【解析】 (Ⅰ) 由于从 10件产品中任取 3件的结果为 C103， 从 10件产品中任取 3件 ， 其中恰有 k件一等品的结果数为 C3kC73－ k， 那么从 10件产品中任取 3件 ， 其中恰有 k件一等品的概率为 P(X＝ k)＝ C3kC73－ kC103 ， k＝ 0， 1， 2， 3. 所以随机变量 X的分布列是 X 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120 X的数学期望 EX＝ 0 724＋ 1 2140＋ 2 740＋ 3 1120＝ (Ⅱ) 设 “ 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数 ” 为事件 A， “恰好取出 1件一等品和 2件 三等品 ” 为事件 A1， “恰好取出 2件一等品 “ 为事件 A2” ， 恰好取出 3件一等品”为事件 A1， A2， A3彼此互斥 ， 且 A＝ A1∪ A2∪ A3而 P(A1)＝ C。