20xx高中数学黄金100题系列——专题06分段函数解析版word版含解析

20xx高中数学黄金100题系列——专题06分段函数解析版word版含解析内容摘要：

的奇偶性 【例 6】 【 2020 届北 京市海淀区 高三第二学期 期中练习理 】已知函 数s in ( ), 0 ,() c o s ( ), 0x a xfx x b x   是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A． ,44ab  B． 2 ,36ab C． ,36ab D． 52,63ab 【答案】 C 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式．若 0x ，则 0x ，因为 si n( ) si n c os c os si nx a x a x a  ，c os( ) c os c os si n si nx b x b x b   ，且 ()fx 为 偶 函 数 ， 所 以 由 题 意 知si n c os c os si nx a x a ＝ cos cos s in s inx b x b 恒成立，所以必有 sin coscos sinab ，观察各选项知，只有 C适合，故选 C． 【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（ 1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定 ()fx与 ()fx 的关系来判断；（ 2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用 ( ) ( )f x f x或 ( ) ( )f x f x  建立方程来解决． 【例 7】 【 2020届浙江省温州市高三第二次适应性测试理】设奇函数c o s 3 s in 0() c o s s in 0a x x c xfx x b x c x       ，则 ac 的值为 ___________． 【答案】 0 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性．因为 ()fx为奇函数，所以 (0) 0f  ，即cos 0 3 si n 0ac＝ cos 0 sin 0bc，所以 21ac；由 ( ) ( ) 022ff  ，得30c b c    ，所以 3b ；由 ( ) ( ) 0ff   ，得 10a c c     ，所以1a ，所以 1c ，所以 0ac ． 【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意： 如果函数 ()fx在 0x 时有定义，则必有 (0) 0f  ，但如果在 0x 时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊的两个自变量的值间关系求解． 考向 4 分段函数的单调性 【例 8 】 【 2020 届 浙 江 宁 波 效 实 中 学 高 三 上 期 中 考 试 理 科 】 函 数 2 1 ( 2 )()1 ( 2 )a x x xfx a x x     是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 04 a   B． 14a C． 114a   D． 1a 【答案】 D 【解析】∵ 2 1 ( 2 )()1 ( 2 )a x x xfx a x x     是 R 上 的 单 调 递 减 函 数 ， ∴01 2122 1 4 2 1aaaaa       ，故考向 5 分段函数的对称性 【例 9】 【 2020 届安徽省芜湖市、马鞍山市高中毕业班教学质量检测理】若函数,0() ln , 0ax a xfx x x x   的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1(0, )e B． 1(0, ) (1, )ee C． (1, ) D． (0,1) (1, ) 【答案】 D 【解析】本题考查分段函数的图象的对称性、函数图象的应用．当 0x 时，函数( ) lnf x x x ，则 ( ) ln 1f x x ，于是当 10 x e时，函数 ()fx单调递减，当 1x e 时，函数 ()fx 单调递增，且 11( ) ( )f x f ee  极 小 值，且 (1) 0f  ．又当 0x 时，( ) ( 1 )f x ax a a x   ，函数 ()fx恒过定点 ( 1,0) ，由此可作出函数 ()fx 的图象，由图 可知， 要使函数 ()fx 的 图象 上有且 仅有两 对点关于 原点对 称，则 函数( ) ln ( 0)f x x x x关 于 原 点 对 称 的 函 数 ln( )( 0)y x x x  图 象 与 直 线( ) ( 1)( 0)f x a x x  有且仅有两个交点，如图所示．由 ln( )( 0)y x x x  ，得ln( ) 1yx   ，则函数 ln( )( 0)y x x x  在点 ( 1,0) 的切线斜率为 1，由此根据图可知实数 a 的取值范围是 01a或 1a ，故选 D． 【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将 y 轴 一侧的函数图象作关于原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关系可建立关于参数的不等式求 解． 考向 6 分段函数的图象交点 【例 10】 【 2020届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在 R 上的函数 ()fx满足：（ 1）( ) (2 ) 0f x f x  ，（ 2 ） (2 ) ( )f x f x   ；（ 3 ）在 [1,1] 上 表 达 式 为21 , [ 1 , 0]() c os( ) , ( 0 ,1 ]2xxfx xx     ，则函数。