20xx人教版中考数学图形的相似与位似word专项练习

20xx人教版中考数学图形的相似与位似word专项练习内容摘要：

之比． 【解答】 解： ∵ 以点 O为位似中心，将 △ABC 放大得到 △DEF ， AD=OA， ∴AB ： DE=OA： OD=1： 2， ∴△ABC 与 △DEF 的面积之比为： 1： 4． 故答 案为： 1： 4． 【点评】 此题考查了位似图形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方． 13． (2020178。 上海普陀区178。 一模 )已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90176。 ，点 P、 Q 分别在边 AB、 AC上， AC=4， BC=AQ=3，如果 △APQ 与 △ABC 相似，那么 AP 的长等于 或 ． 【考点】 相似三角形的性质． 【分析】 根据勾股定理求出 AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【解答】 解： ∵AC=4 ， BC=3， ∠C=90176。 ， ∴AB= =5， 当 △APQ∽△ABC 时， = ，即 =， 解得， AP= ； 当 △APQ∽△ACB 时， = ，即 ， 解得， AP= ， 故答案为： 或 ． 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键． 14． (2020178。 上海普陀区178。 一模 )已知 A（ 3， 2）是平面直角坐标中的一点，点 B是 x轴负半轴上一动点，联结 AB，并以 AB为边在 x轴上方作矩形 ABCD，且满足 BC： AB=1： 2，设点 C的横坐标是 a，如果用含 a的代数式表示 D点的坐标，那么 D点的坐标是 （ 2， ） ． 【考点】 相似三角形的判定与性质； 坐标与图形性质． 【分析】 如图，过 C作 CH⊥x 轴于 H，过 A 作 AF⊥x 轴于 F， AG⊥y 轴于 G，过 D作 DE⊥AG于 E，于是得到 ∠CHB=∠AFO=∠AED=90176。 ，根据余角的性质得到 ∠DAE=∠FAB ，推出△BCH∽△ABF ，根据相似三角形的性质得到 ，求得 BH=AF=1， CH=BF= ，通过 △BCH≌△ADE ，得到 AE=BH=1， DE=CH= ，求得 EG=3﹣ 1=2，于是得到结论． 【解答】 解：如图，过 C作 CH⊥x 轴于 H，过 A作 AF⊥x 轴于 F， AG⊥y 轴于 G，过 D作 DE⊥AG于 E， ∴∠CHB=∠AFO =∠AED=90176。 ， ∴∠GAF=90176。 ， ∴∠DAE=∠FAB ， ∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴∠ABC=90176。 ， ∴∠BCH=∠ABF ， ∴△BCH∽△ABF ， ∴ ， ∵A （ 3， 2）， ∴AF=2 ， AG=3， ∵ 点 C的横坐标是 a， ∴OH= ﹣ a， ∵BC ： AB=1： 2， ∴BH=AF=1 ， CH=BF= ， ∵△BCH∽△ABF ， ∴∠HBC=∠DAE ， 在 △BCH 与 △ADE 中， ， ∴△BCH≌△ADE ， ∴AE=BH=1 ， DE=CH= ， ∴EG=3 ﹣ 1=2， ∴D （ 2， ）． 故答案为：（ 2， ）． 【点评】 本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 15.（ 2020178。 吉林长春朝阳区 178。 一模） 如图，直线 l1∥l 2∥l 3，直线 AC 分别交 l l l3于点 A、 B、 C；过点 B的直线 DE分别交 l l3于点 D、 E．若 AB=2， BC=4， BD=，则线段 BE的长为 3 ． 【考点】 平行线分线段成比例． 【专题】 计算题． 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到 = ，然后把 AB、 BC、 BD的值代入后利用比例的性 质可计算出 BE的长． 【解答】 解： ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴ = ，即 = ， ∴BE=3 ． 故答案为 3． 【点评】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 16.（ 2020178。 河北石家庄178。 一模） 如图，正方形 ABCD与正方形 EFGH是位似形，已知 A（ 0，5）， D（ 0， 3）， E（ 0， 1）， H（ 0， 4），则位似中心的坐标是 （ 0， ），（﹣ 6， 13） ． 【考点】 位似变换；坐标与图形性质． 【分析】 分别利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用当 B 与 F 是对应点，以及 当 B与 E是对应点分别求出位似中心． 【解答】 解：设当 B与 F是对应点，设直线 BF 的解析式为： y=kx+b， 则 ， 解得： ， 故直线 BF的解析式为： y=﹣ x+ ， 则 x=0时， y= ， 即位似中心是：（ 0， ）， 设当 B与 E是对应点，设直线 BE的解析式为： y=ax+c， 则 ， 解得： ， 故直线 BE的解析式为： y=﹣ 2x+1， 设直线 HF的解析式为： y=dx+e， 则 ， 解得： ， 故直线 HF的解析式为： y=﹣ x+5， 则 ， 解得： 即位似中心是：（﹣ 6， 13）， 综上 所述：所述位似中心为：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 故答案为：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 【点评】 此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论得出是解题关键． 17.（ 2020178。 广东东莞178。 联考） 将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起，已知正方形的边长为 20cm，点 O为正方形的中心， AB=5cm，则 CD 的长为 20 cm． 【考点】 正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】 根据题意四边形 BOCE是正方形，且边长等于大正方形的边长的一半，等于 10cm，再根据 △ DCE和 △ DOA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【解答】 解：如图， ∵ 点 O为正方形的中心， ∴ 四边形 BOCE是正方形，边长 =20247。 2=10cm ， ∵ CE∥ AO， ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案为： 20． 【点评】 本题主要考查正方形各边都相等，每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质，需要熟练掌握并灵活运用． 18.（ 2020178。 广东深圳178。 联考） 如图，已知矩形 OABC 与矩形 ODEF是位似图形， P是位似中心，若点 B的坐标为（ 2， 4），点 E的坐标为（﹣ 1， 2），则点 P的坐标为 答案： （ 2， 0） 19.（ 2020178。 河南三门峡 178。 一 模） 如图，在 平行四边形 ABCD中， E 是边 BC 上的点，分别 连结 AE、 BD相交于点 O，若 AD=5， 35BODO ，则 EC=__________ 答案： 2 三、解答题 1． (2020178。 浙江杭州萧山区 178。 模拟 )平面直角坐标系中，有 A、 B、 C三点，其中 A为原点，点 B和点 C的坐标分别为（ 5， 0）和（ 1， 2）． （ 1）证明： △ABC 为 Rt△ ． （ 2）请你在直角坐标系中找一点 D，使得 △ABC 与 △ABD 相似，写出所有满足条件 的点 D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形． （ 3）在第（ 2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括 △ABC ）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率． 【考点】 相似形综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【专题】 综合题；分类讨论． 【分析】 （ 1）过点 C作 CH⊥x 轴于 H，如图 1，只需运用勾股定理求出 AB AC BC2，然后运用勾股定理的逆定理就可解决问题； （ 2） △ABC 与 △ABD 相似，对应关系不确定，故需分六种情况（ ① 若 △ABC∽△ABD ， ② 若△ABC∽△BAD ， ③ 若 △ABC∽△ADB ， ④ 若 △ABC∽△DAB ， ⑤ 若 △ABC∽△BDA ， ⑥ 若△ABC∽△DBA ）讨论，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （ 3）图中的直角三角形的直角顶点有 A、 B、 C、 D D D3，只需求出任意两直角顶点的连线段的条数和长度为无理数的线段的条数，就可解决问题． 【解答】 解：（ 1）过点 C作 CH⊥x 轴于 H，如图 1， ∵A （ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， ∴AC 2=12+22=5， BC2=（ 5﹣ 1） 2+22=20， AB2=52=25， ∴AB 2=AC2+BC2， ∴△ABC 为 Rt△ ； （ 2） ① 若 △ABC∽△ABD ， 则有 D1（ 1，﹣ 2）； ② 若 △ABC∽△BAD ，则有 D2（ 4，﹣ 1）， D3（ 4， 1）； ③ 若 △ABC∽△ADB ，则有 D4（ 5，﹣ 10）， D5（ 5， 10）； ④ 若 △ABC∽△DAB ，则有 D6（ 5，﹣ ）， D7（ 5， ）； ⑤ 若 △ABC∽△BDA ，则有 D8（ 0，﹣ 10）， D9（ 0， 10）； ⑥ 若 △ABC∽△DBA ，则有 D10（ 0，﹣ ）， D11（ 0， ）； 所有符合要求的三角形如图所示． （ 3）图中的直 角三角形的直角顶点有 A、 B、 C、 D D D3． 任意两直角顶点的连线段共有 =15条， 其中 AB=5， CD1=D2D3=4， CD2=D1D3=5， CD3=D1D2=3， 故长度为有理数的线段共 7条，长度为无理数的线段共 8条， 则取到长度为无理数的线段的概率为 p= ． 【点评】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性质、概率公式等知识，运用分类讨论的思想是解决第（ 2）小题的关键． 3． (2020178。 浙江镇江178。 模拟 )（本小题满分 9分） 如图， AB为⊙ O的直径， AB=2，点在 M在 QO上， MC垂直平分 OA， 点 N为 直线 AB上一动点（ N不与 A重合）， 若△ MNP∽△ MAC， PC与 直线 AB所夹锐角为 α ． （ 1）若 AM=AC，点 N与点 O重合，则 α= ▲ 176。 ； （ 2）若点 C、点 N的位置如图所示，求 α 的度数； （ 3） 当直线 PC 与 ⊙ O 相切时， 则 MC 的长 为 ▲ ． （ 1） 如图 ， α= 30 176。 ； （ 2） 连接 MO， ∵ MC垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。 ，则 ∠ AMC=30176。 ． ∵ △ MAQ∽ △ MNP， ∴MPMQMNMA，NMPAMQ ， ∴ ∠ AMN=∠ QMP， ∴ △ AMN∽ △ QMP， ∴ ∠ MAN=∠ MQP， ∴ α =∠ AMQ=30176。 ； （ 3）334． ? C P M B O A C N M P O A C （ N） 4.（ 2020 青岛一模） 把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图（ 1）摆放（点 C 与 E 重合），点 B、 C（ E）、 F在同一条直线上．已知： ∠ACB=∠EDF=90176。 ， ∠DEF=45176。 ， AC=8cm， BC=6cm， EF=10cm．如图（ 2）， △DEF 从图（ 1）的位置出发，以 1cm/s的速度沿 CB 向 △ABC 匀速移动，在 △DEF移动的同时，点 P从 △ABC 的顶点 A出发，以 2cm/s的速度沿 AB 向点 B匀速移动；当点 P移动到点 B时，点 P停止移动， △ DEF也随之停止移动． DE与 AC交于点 Q，连接 PQ，设移动时间为 t（ s）． （ 1）用含 t的代数式表示线段 AP 和 AQ的长，并写出 t的取值范围； （ 2）连接 PE，设四边形 APEQ的面积为 y（ cm2），试探究 y的最大值； （ 3）当 t为何值时， △APQ 是等腰三角形． 【考点】 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质． 【专题】 动点型． 【分析】 （ 1）根据题意以及直角三角形性质表达出 CQ、 AQ，从而得出结论， （ 2）作 PG⊥x 轴，将四边形的面积表示为 S△ABC ﹣ S△BPE ﹣ S△QCE 即可求解， （ 3）根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠EDF=90176。 ， ∠DEF=45176。 ， ∴∠CQE=45176。 =∠DEF ， ∴CQ=CE=t ， ∴AQ=8 ﹣ t， t的取值范围是： 0≤t≤5 ； （ 2）过点 P作 PG⊥x 轴于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴PG=PBSinB= （ 10﹣ 2t） ∴y=S △ABC ﹣ S△PBE ﹣S△QCE = = ∴ 当 （在 0≤t≤5 内）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP。