xx高考数列概念方法题型总结

xx高考数列概念方法题型总结内容摘要：

{an}的前 n项和 ,a12=8,S9=9,则 S16= . 答案 72 {an}、 {bn}都是公差为 1的等差数列，其首项分别为 a b1,且 a1+b1=5， a b1∈ N*.设 =nba(n∈ N*),则数列 {}的前 10项和等于 . 答案 85 三、解答题 {an}中， a1=53， an=211na (n≥ 2,n∈ N*),数列 {bn}满足 bn=11na(n∈ N*). (1)求证：数列 {bn}是等差数列； （ 2）求数列 {an}中的最大项和最小项，并说明理由 . （ 1） 证明 因为 an=211na(n≥ 2,n∈ N*),bn=11na. 所以当 n≥ 2时， bnbn1=11na111na =11211  na111na=111nnaa111na=1. 又 b1=111a=25.所以，数列 {bn}是以 25为首项，以 1为公差的等差数列 . （ 2） 解 由（ 1）知， bn=n27,则 an=1+nb1=1+722n. 设函数 f(x)=1+722x,易知 f(x)在区间 (∞ ,27)和 (27,+∞ )内为减函数 . 所以，当 n=3时， an取得最小值 1； 当 n=4时， an取得最大值 3. {an}的奇数项的和为 216，偶数项的和为 192，首项为 1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式 . 解 设等差数列 {an}的项数为 2m+1,公差为 d, 则数列的中间项为 am+1,奇数项有 m+1 项，偶数项有 m项 . 依题意，有 S 奇 =(m+1)am+1=216 ① S 偶 =mam+1=192 ② ①247。 ② ,得mm1=192216，解得 ,m=8, ∴数列共有 2m+1=17项，把 m=8代入②，得 a9=24, 又∵ a1+a17=2a9， ∴ a17=2a9a1=47，且 d=917 917aa=823. an=1+(n1)823=81523n(n∈ N*,n≤ 17). Sn是等差数列 {an}的前 n项和，已知31S3，41S4的等比中项为51S5。 31S3，41S4的等差中项为 1， 求数列 {an}的通项公式 . 解 方法一 设等差数列 {an}的首项 a1=a，公差为 d， 则 Sn=na+2 )1( nnd，依题意，有      ,212 344412 23331,2 4552512 344412 233312dadadadada 整理得,2252,053 2dadad ∴ a=1， d=0或 a=4， d=512. ∴ an=1或 an= n512532， 经检验 ， an=1和 an= n512532均合题意 . ∴所求等差数列的通项公式为 an=1或 an= n512532. 方法二 因 Sn是等差数列的前 n项和，易知数列nSn是等差数列 .依题意得 .SS,SSS，SSS2435434253432543453解得,5,4,3543SSS 或.4,58,524543SSS 由此得 a4=S4S3=1， a5=S5S4=1， 或 a4=516， a5=528， ∴ d=0或 d=512. ∴ an=a4+（ n4） 0=1 或 an=a4+（ n4） (512)=532512n. 故所求等差数列的通项公式 an=1 或 an=532512n. 知公差大于零的等差数列 {an}的前 n项和为 Sn，且满足： a3 a4=117,a2+a5=22. （ 1）求通项 an。 (2)若数列 {bn}满足 bn=Sn,是否存在非零实数 c使得 {bn}为等差数列。 若存在，求出 c的值；若不存在，请说明理由 . 解 （ 1）由等差数列的性质得， a2+a5=a3+a4=22,所以 a a4是关于 x的方程 x222x+117=0的解，又公差大于零， 所以 a3=9,a4=13. 易知 a1=1,d=4,故通项为 an=1+(n1) 4=4n3. (2)由 (1)知 Sn=2 )341(  nn=2n2n, 所以 bn=Sn= nn22. 方法一 所以 b1=c11,b2=c26,b3=c315(c≠ 0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=21. 当 c=21时， bn=2122nnn =2n, 当 n≥ 2时， bnbn1=2. 故当 c=21时，数列 {bn}为等差数列 . 方法二 当 n≥ 2时， bnbn1= nn nn   1 )1()1(22 22 =)1()12( 3)24(22 2   c , 欲使 {bn}为等差数列， 只需 4c2=2(2c1)且 3c=2c(c1) (c≠ 0)解得 c=21. 167。 等比数列及其前 n 项和 基础自测 1.（ 2020海南、宁夏理， 4） 设等比数列 {an}的公比 q=2,前 n项和为 Sn,则24aS等于 （ ） C.215 D.217 答案 C {an}中 ,a3=7,前 3项之和 S3=21，则公比 q的值为 （ ） 21 21 21 答案 C 1,a,b,c,9成等比数列 ,那么 （ ） =3， ac=9 =3， ac=9 =3， ac=9 ` =3， ac=9 答案 B {an}中，已知 a1a3a11=8，则 a2a8等于 （ ） 答案 D 5.（ 2020浙江理， 6） 已知 {an}是等比数列 ,a2=2,a5=41,则 a1a2+a2a3+„ +anan+1等于 （ ） （ 14n） B. 16（ 12n） C.332（ 14n） D.332（ 12n） 答案 C 例 1 已 知 {an}为等比数列， a3=2， a2+a4=320，求 {an}的通项公式 . 解 方法一 设等比数列 {an}的公比为 q，则 q≠ 0， a =qa3=q2， a4=a3q=2q， ∴q2+2q=320. 解得 q1=31， q2=3. ①当 q=31时， a1=18， ∴ an=18 (31)n1=1318n=2 33n. ②当 q=3时， a1=92， ∴ an=92 3n1=2 3n3. ∴ an=2 33n或 an=2 3n3. 方法二 由 a3=2,得 a2a4=4， 又 a2+a4=320， 则 a2， a4为方程 x2320x+4=0的两根， 解得63242aa 或 32642aa . ①当 a2=32时 ,q=3,an=a3 qn3=2 3n3. ②当 a2=6时， q=31,an=2 33n ∴ an=2 3n3或 an=2 33n. 例 2（ 12分）已知数列 {an}的前 n项和为 Sn，且对任意 n∈ N*有 an+Sn=n. （ 1）设 bn=an1,求证：数列 {bn}是等比数列； （ 2）设 c1=a1且 =anan1 (n≥ 2)，求 {}的通项公式 . （ 1） 证明 由 a1+S1=1及 a1=S1得 a1=21. 又由 an+Sn=n及 an+1+Sn+1=n+1 得 an+1an+an+1=1,∴ 2an+1=an+1. ∴ 2(an+11)=an1,即 2bn+1=bn. ∴数列 {bn}是以 b1=a11=21为首项， 21为公比的等比数列 . 6分 （ 2） 解 方法一 由（ 1）知 2an+1=an+1. ∴ 2an=an1+1 (n≥ 2), ∴ 2an+12an=anan1, ∴ 2+1= (n≥ 2). 8分 又 c1=a1=21 ,a2+a1+a2=2,∴ a2=43. ∴ c2=43 21 =41 ,即 c2=21 c1. ∴数列 {}是首项为 21 ，公比为 21 的等比数列 . 10分 ∴ =21 (21 )n1=(21 )n. 12 分 方法二 由（ 1） bn=(21 ) (21 )n1=(21 )n. ∴ an=(21)n+1. ∴ =(21)n +1  1211n = 121  n n21= 121  n 211 = n21（ n≥ 2） . 10分 又 c1=a1=21也适合上式，∴ = n21. 12 分 例 3 在等比数列 {an}中， a1+a2+a3+a4+a5=8且11a+21a+31a+41a+51a=2,求 a3. 解 方法一 设公比为 q,显然 q≠ 1, ∵ {an}是等比数列，∴na1也是等比数列，公比为q1. 由已知条件得211)11(181)1(5151qqaqqa,解得 a21 q4 =4, ∴ a23 =（ a1q2） 2=4， ∴ a3=177。 2. 方法二 由已知得：  54321 11111 aaaaa 51 51aaaa + 42 42aa aa + 233aa =23 54321 a aaaaa =238a=2. ∴ a23 =4.∴ a3=177。 2. 例 4 某林场有荒山 3 250 亩，每年 春季在荒山上植树造林，第一年植树 100亩，计划每年比上一年多植树 50亩（全部成活） （ 1）问需要几年，可将此山全部绿化完。 （ 2）已知新种树苗每亩的木材量是 2立方米，树木每年自然增长率为 10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为 S约为多少万立方米。 （精确到 ） 解 （ 1）每年植树的亩数构成一个以 a1=100， d=50的等差数列，其和即为荒山的总亩数 . 设需要 n年可将此山全部绿化，则 Sn=a1n。