基于matlab的iir数字滤波器设计(论文

基于matlab的iir数字滤波器设计(论文内容摘要：

的 π /T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=es1T将此横带变换到整个 Z平面上去。 这样就使 S平面与 Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图 23 所示。 图 24 双线性变换的映射关系 为了将 S平面的整个虚轴 jΩ 压缩到 S1平面 jΩ 1轴上的 π /T到π /T段上，可以通过以下的正切变换实现  2tan2 1TT （ 式 26） 式中 ,T 仍是采样间隔。 当 Ω 1 由 π /T 经过 0 变化 到 π /T 时， Ω 由 ∞经过 0 变化到 +∞，也即映射了整个 jΩ 轴。 将式（ 26）写成 2/2/2/2/11TjTjTjTjeeeeTj  （ 式 27） 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 jΩ =s， jΩ 1=s1，则得 o－ 1 1Z 平面jI m [ z ]R e [ z ] / Tj11－  / TS1平面S 平面j o o重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １０ TsTsTsTsTsTsiiiiieeTTsTee eeTs  a 112/2/2/2/ （ 式 28） 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z平面 Tsez 1 （ 式 29） 从而得到 S平面和 Z平面的单值映射关系为： 11112 zzTs （ 式 210） sTsTsTsTz 222121 （ 式 211） 式（ 210）与式（ 211）是 S平面与 Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 式（ 26）与式（ 210）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。 首先 ,把 z=ejω ，可得   jTjeeTs jj 2t a n2112  （ 式 212） 即 S 平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆。 其次，将 s=σ +jΩ 代入式（ 212），得 jTjTz22 （ 式 213） 因此 222222  TTz （ 式 214） 由此看出，当 σ 0 时， |z|1；当 σ 0 时， |z|1。 也就是说， S 平面的左半平面映射到 Z平面的单位圆内， S 平面的右半平面映射到 Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １１ 二、 双线性变换法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。 这是因为 S平面与 Z平面是单值的一一对应关系。 S平面整个 jΩ 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。 这个关系如式 （ 210）所示，重写如下：  2tan2 T （ 式 215） 上式表明， S 平面上 Ω 与 Z 平面的 ω 成非线性的正切关系，如图 24所示。 由图 24 看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当 Ω 进一步增加时， ω 增长得越来越慢，最后当 Ω →∞时，ω 终止在折叠频率 ω =π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。 图 25 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠 频率的严重非线性关系而得到的，如式（ 212）及图 24 所示。 由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。 首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 25 所示。 －  o 2ta n2 T ＝重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １２ 图 26 双线性变换法幅度和相 位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸 变 来加以校正。 也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 o oo)j(a ΩH)(e j H ooo)](ea r g [ j H)]j(a r g [ a ΩH重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １３ 第 三 章 IIR 滤波器的 MATLAB 设计 MATLAB 是矩阵实验室（ Matrix Laboratory）之意。 除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵，它的指令表达 式与数学 ,工程中常用的形式十分相似 ,故用 MATLAB来解算问题要比用 C,FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多 .在新的版本中也加入了对 C,FORTRAN,c++ ,JAVA的支持 .可以直接调用 ,用户也可以将自己编写的实用程序导入到 MATLAB 函数库中方便自己以后调用，此外许多的 MATLAB 爱好者都编写了一些经典的程序，用户可以直接进行下载就可以用，非常的方便。 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有一些典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth )滤波器、切比雪夫 (Chebyshev)滤波器、椭圆 (Cauer )滤波器、贝塞尔 (Bessel )滤波器等，这些典型的滤波器各有特点。 用 MATLAB 进行数字滤波器的设计 的 步骤如下 : （ 1） 将设计指标归一化处理。 如果采用双线性变换法，还需进行预畸变。 （ 2） 根据归一化频率，确定最小阶数 N 和频率参数 Wn。 可供选用的阶数择函数有 :buttord， cheblord， cheb2ord， ellipord 等。 （ 3） 运用最小阶数 N 设计模拟低通滤波器原型。 模拟低通滤波器的创建函数有 :buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，这 些函数输出的是零极点式形式，还要用 zp2tf 函数转换成分子分母多项式形式。 如果想根据 最 小 阶 数 直 接 设 计 模 拟 低 通 滤 波 器 原 型 ， 可 用butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函数，只是注意要将函数中的 Wn设为 1。 （ 4） 根据第 2 步的频率参数 Wn，模拟低通滤波原型转换模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，可用函数分别是： lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。 （ 5） 运用脉冲响应不变法或双线性变法把模滤波器转数字滤波器，调用的函数是 impinvar 和 bilinear。 脉冲响应不变法适用于采样频率大于 4倍截止频率的锐截止低通带通滤波器，而双线性变换法适合于相位特性要求不高重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １４ 的各型滤波器。 （ 6） 根据输出的分子分母系数， 调 用 函数 buttord 计算 N 和 wc， 有系数向量可以写出数字滤波器系统函数 Z,再用 freqz 函数验证设计结果。 第一节 IIR 数字滤波器 的 典型设计 法 设计巴特沃 斯 数字低通滤波器和椭圆数字低通滤波器，要求通带边界频fp=，通带最大衰减 Rp=；阻带边界频率 fs=8kHZ，阻带最小衰减Rs=30dB,采样频率为 Fs=20kHZ。 低通巴特沃斯滤波器设计步骤 如下： （ 1） 确定阶数 N。 110  psRRspk  pssp ff , N 取 N=4 （ 2） 求极点 530 jep  ， 541 jep  ， jep 2 ， 563 jep  ， 574 jep  归一化低通原型系统函数为   4 0 )(1)(k ka pppG 由 N=4 直接查表得到： 极点： j j 归一化低通滤波器系统函数为 011223341)( bpbpbpbppG a  式中， 0b , 1b , 2b , 3b （ 3） 将 )(pGa 去归一化最终得到 重庆邮电大学高教自考毕业设计（论文） １５ 401312223345)(ccca bsbsbsbssH   通过计算可以总结出过程太麻烦，而且容易出错 ，结果不直观。 下面用 M 程序设计来实现 用脉冲响应不变法设计的巴特沃 斯 数字低通滤波器的 M 程序如下： fp=2100。 fs=8000。 Fs=20200。 Rp=。 Rs=30。 T=1/Fs。 %设计指标 W1p=fp/Fs*2。 W1s=fs/Fs*2。 %求归一化频率 [N,Wn]=buttord(W1p,W1s,Rp,Rs,39。 s39。 )。 %确定 butterworth 的最小介数 N 和频率参数 Wn [z,p,k]=buttap(N)。 %设计模拟低通原型的零极点增益参数 [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)。 %将零极点增益转换成分子分母参数 [bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wn*pi*Fs)。 %将低通原型转换为模拟低通 [bz,az]=impinvar(bs,as,Fs)。 %用脉冲响应不变法进行模数变换 sys=tf(bz,az,T)。 %给出传输函数 H(Z) [H,W]=freqz(bz,az,512,Fs)。 %生成频率响应参数 subplot(2,1,1)。 plot(W,20*log10(abs(H)))。 %绘制幅频响应 grid on。 %加坐标网格 xlabel(39。 频率 /Hz39。 )。 ylabel(39。 振幅 /dB39。 )。 subplot(2,1,2)。