基于matlab的fir数字滤波器设计和优化分析

基于matlab的fir数字滤波器设计和优化分析内容摘要：

的频率响应。 . . 在描述幅度特性以及滤波特点时，幅度函数在 12( , )ss 范围内低于某值很小时，则称 12( , )ss 为阻带。 同理 ， 当幅度在12( , )pp内相对较大且 变化范围较小则称12( , )pp为通带。 此外，还定义了过渡带 ，即通带与阻带之间的频带。 图示的方式帮助我们更加直观的描述各类不相同频带的滤波器如下：低通滤波器的幅频响应曲线如图 11（ a） 所示，可以看出它的通带为 (0, )p ，阻带范围 ( , )s ，过渡带就是 ( , )ps ，其中 错误 !未找到引用源。 p 称为通带（截止）频率， 错误 !未找到 引用源。 s 称为阻带（截止）频率。 幅度函数的单调性与是否为通带或阻带没有直接关系。 在研究中还会涉及到通带与阻带的相对变化量，我们将定义通带内最大值与最小值之差 的 dB 值 为通带波纹，用 Ap 表示，定义通带内的最大值（也可为通带内的其他值）与阻带内最大值之差 的 dB 值 为阻带衰减，用 As 表示， Ap 和 As 都以分贝度量，为正值。 若 |H(j)|的最大值为 1，通带和阻带的变化量分别为 p 和 s（见图 11（ b）），根据 Ap 和 As 的定义，则有 / 2 0/ 2 02 0 l o g (1 ) 1 1 02 0 l o g 1 0 spAp p ps s s AAA      或或 （ 1 3） 高通滤波器的通带为 ( , )p ，阻带为 (0, )s ，如图 11(c)所示。 带通滤波器的幅频响应曲线如图 11(d)示。 12,pp为通带频率， 12,ss为阻带频率。 带阻滤波器的幅频曲线如图 11(e)示。 |H ( j ) |/ d Bps0p0s 1 0 0 （ a） 低通（幅度用 dB 表示） |H ( j ) |ps0p1s  p s0|H (j  )| (b) 低通 (c) 高通  p1  p2 s1  s20|H (j  )|  p1  p2 s1  s20|H (j  )| （ d） 带通 （ e） 带阻 . . 图 1 1 滤波器的幅频特性 第三节 滤波器的技术指标 一、 滤波器的技术指标及表示方法 设计中确定了实际需求就需要确定技术指标。 具体的，滤波器的技术指标可用以下几种方式来表示： ① 幅度范围定义了通带的最小幅度 错误 !未找到引用源。 和阻带的最大幅度 错误 !未找到引用源。 ② 幅度容限值指定通带幅度减小最大值 1pPM  和阻带幅度的最大值 1ssM  ③ 幅度纹波容限描述了通带内幅度变化最大量 错误 !未找到引用源。 和阻带内幅度变化最大量 错误 !未找到引用源。 ④ 衰减范围用 dB 表示，指定通带内的最大衰减 错误 !未找到引用源。 和阻带内的最小衰减 错误 !未找到引用源。 ⑤ 增益范围用 dB 表示，通带内最小增益 ppG A 恶化阻带内最大增益 ssG A。 二、 四种选频滤波器的技术指标 ① 低通滤波器的技术指标： ()jHe =1,0  ； ()jHe =0，  错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 ② 带通滤波器的技术指标： ()jHe =0， 0错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 ； ()jHe =1；    ； ()jHe =0， 错误 !未找到引用源。 。 ③ 高通滤波器的技术指标： ()jHe =0， 0  ； ()jHe =1， 错误 !未找到引用源。  错误 !未找到引用源。 ④ 带阻滤波器的技术指标： ()jHe =1， 0错误 !未找到引用源。  ； ()jHe =0； 错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 错误 !未找到引用源。 ； ()jHe =1，   错误 !未找到引用源。 第四节 滤波器的系统特性 . . 已知在滤波 器的设计的过程中，我们需要考虑信号与系统中所要求的很多因素，例如稳定性等。 现在来具体介绍数字滤波器的系统特性。 一、 稳定性 稳定系统是系统只要没有外部源的激励，就能保持静止状态没有输出。 或者输入有界输入即输入值在任意时刻都小于某一有限值，输出也能呈现有界性。 这样的系统被称作稳定系统。 考虑到系统的稳定性提供了性能实用性等方面的影响，故它也是系统设计中的一个主要的问题，因此有必要通过确定特定系统参数值的范围来确定系统稳定性。 二、 时不变性 如果输入信号的时移会引起相同的输出信号的时移就叫做时不变系统。 用数学表达的方 式，即如果输入 ()xt 产生输出 ()yt ，则输入 0()xt t 产生 0()yt t。 也就是说，在这种系统中，任意时刻输入的信号，输出的都是同一个波形。 也可以说，输入延迟0t 秒，输出也保持同样的延迟步调，这个系统就是时不变的。 同理，对于离散时间系统而言，要想时不变就需要满足输入信号 0()x k k 产生对应输出信号 0()y k k。 时不变系统的特性和参数不随时间变化，这一点在差分方程中表现的尤为明显。 相反，非时不变的系统称为时变系统。 三、 线性 首先介绍叠加原理 ： 几个输入 1( 2), ( ),..., ( )Nx t x t x t同时作用于系统，其响应 ()yt 等于每个输入单独作用于系统的响应之和。 具体的，如果系统满足： ① 叠加性：输入 1()xt产生输出 1()yt，输入 2()xt产生输出 2()yt，那么对所有的输入 1()xt和 2()xt有，输入 ( 1()xt + 2()xt)产生输出 ( 1()yt + 2()yt)。 ② 齐次性：输入 ()xt 产生输出 ()yt ，同时对任何输入及任何常数 a，都有输入 ax(t)得到的输出为 ay(t)。 同时满足叠加性和齐次性的系统被称作线性系统。 线性时不变系统可以用它的单位脉冲响应来表征。 其输入输出的描述法通常采用线性常系数差分方程。 实际研究的大部分系统都是线性时不变系统，可以缩写为 LTI 系统。 这类系统对输入信号的响应可以通过求取输入 系统的冲击响应的卷积得到。 输入输出的关系变得相对简单。 它的缺点在于： 用卷积运算 来 求解 LTI 系统的响应时并不容易， 同时 系统的 真实情况也不能很好地反映。 但无论怎样， LTI 系统在信号与系统的研究中仍然占有举足轻重的位置。 . . 四、 因果性和最小相位系统 如果系统以时间为自变量， 且 输出仅与现在和过去的输入 值 有关，就叫做因果系统。 即 y(t)仅取决于 x(t)在 t 的值。 相反 ， 如果和未来有关 或 是在实际中是不可能实现的，这类系统被称作是非因果系统。 为了实现滤波器设计实际总就必须保 证系统的可实现性，所以必须为因果系统。 如果一个因果稳定的线性时不变系统，它的系统函数 H(z)所有的零点都在单位圆内则称其为最小相位系统。 相反，如果零点都在单位圆之外是最大相位系统。 最小相位系统的相频特性，其相角变化范围是最小的。 第二章 模拟滤波器设计 分析 第一节 滤波器逼近的一般方法 模拟滤波器基于连续时间系统，在频谱变换中采用 s 变换。 已知滤波器设计的首要任务就是要确定满足技术指标要求的系统函数，系统函数必须是物理可实现的，也就是要满足因果性和稳定性。 为此系统就必须满足一下几个条件： ① Hs是 s 的实系数有理函数，也就是滤波器的单位脉冲响应 ()ht 是实函数 ② Hs的极点必须全部位于 s 平面的左半平面。 （稳定性要求） ③ Hs的分子多项式的阶数必须小于分母多项式的系数。 由上推论可得，滤波器的频率响应满足          2| | | sjH j H j H j H s H s        （ 2 1） 由于系统函数 H(s)是 s 的有理函数，则 H(s)H(s)是 s2的有理函数，所以 |H(j)|2必为 2 的有理函数。 并且在滤波器逼近函数问题中，一般由 |H(j)|2确定 H(s)。 在模拟滤波器中通常用一些逼近函数进行设计，常见的逼近函数有：巴特沃思逼近，切比雪夫（ I 和 II 型）逼近，椭圆逼近，贝塞尔逼近。 图 21 给出了几 种逼近函数设计的低通滤波器幅频特性，他们具有相同的阶数和波纹要求。 . . 0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| H  |)j(| H 0 1 2 3 410 1 2 3 41|)j(| H |)j(| H  (a) 巴特沃思滤波器 (b)切比雪夫 I 型滤波器 (c) 切比雪夫 II 滤波器 (d)椭圆滤波器 图 2 1 几种逼近函数的幅频特性 从图中观察可以得知，在相同的阶数和波纹要求之下，椭圆滤波器的选择性相对最优，它的过渡带也相对更窄，带外抑制更加陡峭。 其次是切比雪夫滤波器，最后才是巴特沃思滤波器。 切比 雪夫的两种类型所变现出的波纹和单调型出现频带相反也从图中明显观察得知。 第二节 巴特沃思滤波器 实现与分析 一、 巴特沃思逼近 巴特沃思 （ Butterworth） 低通滤波器的平方幅度响应函数为：   2221| ( ) | 1 ( / ) NcH j H   （ 2 2） 式中： N 为滤波器的阶数，通带频率取为 1rad/s。 由 22 式可计算出： 0 rad/s 时， | ( 0)| 1Hj ； 1 rad/s 时， ( 1) 1/ 2Hj  ；也就是说在通带频率处衰减约 3dB。 故有时也称巴特沃思滤波器 3dB 通带频率为1rad/s；  时， ( ) 0Hj 。 阶数 N 值和其他参数的关系可被归纳为： g (1 0 1)2 lo g sAsN   （ 2 3） 巴特沃 思系统函数的特点可以被总结为以下几点：它的分母多项式 ()As 如表 21所示。 ① 阶数 N 越高，特性越接近于矩形，过渡带越窄。 ② 通带没有波纹，其频率响应 随着频率增大而平滑单调下降。 ③ ()Hj 在通带内具有最大平坦特性。 传递函数无零点。 ④ 缺点是从通带到阻带的过渡较大。 . . 表 2 1 巴特沃思低通滤波器分母多项式的系数 111( ) 1NN NA s s a s a s       N a1 a2 a3 a4 a5 2 3 4 5 6 二、 巴特沃思滤波器 的实现与分析 在 MATLAB 信 号处理工具箱中巴特沃思滤波器函数 的 调用格式如下：[z,p,k,]=buttap（ n）式中： n 为巴特沃思滤波器的阶数， z,p,k 分别为滤波器的零点、极点和增益。 设计中还涉及到 [num,den]=zp2tf(z,p,k)函数，它是传递函数（ transfer function）， num 为分子多项式的系数，而 den 是分母多项式的系数。 设计并产生一个 25 阶低通滤波器原型，其实现的 MATLAB 程序代码如下： [Z,P,K]=buttap(25)。 [num,den]=zp2tf(Z,P,K)。 freqs(num,den)。 运行程序效果如图 22 示： 图 2 2 巴特沃思模拟滤波器特性图（ n=25） 图 2 3 巴特沃思低通滤波器幅频响应曲线 从图 22 中可以明显观察得知，巴特沃思模拟滤波器不具备线性相位。 再者设计并绘制阶数分别为 15的巴特沃思滤波器的幅频响应曲线。 其实现的 MATLAB程序代码见附录代码 21，运行程序幅频响应绘制曲线如图 23 所示。 从图中可论证，滤波特性一般，且 阶数 N 越大，滤波效果越接近理想值矩形 过渡带越窄。 这种滤波器 无论是在通带还是阻带内都是频率单调 的 函数。 可以发现，当通带边界处满足指标要求，通带内有余量，可以将精度均匀分布在整个通带内。 为此，选择传递函数具有等波纹特性的滤波器，就能在阶数较低的情况下满足系统要求。 . . 第三节 切比雪夫滤波器 实现与分析 一、 切比雪夫逼近原理 切比雪夫低通滤波器幅度函数的平方为 2 221() 1 ( )NHj c   （ 2 4） 式中 ()NC  是 N 阶切比雪夫。