基于lms自适应滤波器的设计与实现

基于lms自适应滤波器的设计与实现内容摘要：

机信号的全部过去和当前的观察数据来估计信号的当前值，在最小均方差的条件下得到系统的传递函数。 它是一种最优线性滤波方法，其参数是固定的，适用于平稳随机信号。 线性离散时间滤波器的方框图如图 22。 滤波器的输入时间列为)0(u，1，)2(u ， … 并用其冲激响应0w， 1， 2， … ，来表证该滤波器。 在离散时刻n，滤波器输出为)(ny。 这个输出信号用来产生期望响应的估值)(d。 ne为估值误差，用期望响应d与滤波器输出)(ny之差表示。 其要求为：在某种统计意义上估值误差尽可能小 [9]。 线 性 离 散 时 间 滤 波 器 w 0 ， w 1 ， w 2 . . .Σ输 入 ： u （ 0 ） ，u （ 1 ） . . .输 出 ：y ( n )输 出 响 应 ： d （ n ）估 计 误差 ： e ( n ) 图 22 线性离散时间滤波器框图 这里，滤波器需要两个约束条件： 1)滤波器是线性的，使得数学分析容易进行； 2)滤波器是离散时间的，使得它可用于数字硬件或者软件来实现。 最陡下降法 最陡下降法 ]9[ 的主要优点是它的简单性，然而，这种方法需要大量的迭代，才能使算法收敛于充分接近最优解的点。 图 23 所示为自适应横向滤波器的结构及其功能： (1)具有可调节抽头权系数的横向滤波器，权系数 )(1nw ， )(2nw ， … )(nwM 表示在 n 时刻的值。 基于 LMS 自适应滤波器的设计与实现 10 (2)在自适应状态能调节这些权系数的机理过程。 这个过程首先自动调节滤波器系数的自 适应训练步骤，然后利用滤波系数加权延迟线抽头上的信号来产生输出信号，将输出信号与期望信号进行对比，所得的误差值通过一定的自适应控制算法再用来调整权值，以保证滤波器处在最佳状态，达到实现滤波的目的。 1z 1z 1z 1z自 适 应 控 制 算 法Σ)(nx )1( nx )2( nx )1(  Mnx )( Mnx )(ny)(ne )(nd )(1 nw M )(3 nw )(2 nw )(1 nw )( nw M 图 23 自适应横向滤波器结构框图 令 )(nw 表示图 23 中滤波器系数矢量， TM nwnwnwn ])()()([)( 21 w ，滤波器抽头输入信号矢量 TM mnxnxnxn ])()()([)( 21  x ，显然，输出信号 )(ny 是   Mi i nninxnwny 1 T )(x)(w)1()()( (21) 式中上角 ―T‖表 示转置。 利用图 23 中输出信号与期望信号 )(nd 的关系，误差序列 )(ne 可以写成 )()()( nyndne  (22) 显然，自适应滤波器 控制机理是用误差序列 )(ne 按照某种准则和算法对其系数 Minwi ,2,1|,)(|  进行调节的，最终使自适应滤波的目标 (代价 )函数最小化，达到最佳滤波状态。 按照均方误差 (MSE)准则所定义的目标函数是 ： )]()()(2)([ )]([)())(( 222nynyndndE neEnneF    (23) 将式 (21)代入 (23)，目标函数可以重写成 吉林化工学院毕业设计说明书 11 )](w)(x)(x)(w[ )](x)(w)([2)]([)(2nnnnE nnndEndEn TTTT  (24) 当滤波系数固定时，目标函数有可写成 wwPw2)]([)( 2 Rndn TT   (25) 其中， )]()([ nnER T xx 是输入信号的自相关矩阵； )]()([ nxndEP 是期望与输入信号的互相关矢量。 由式 (25)可见，自适应滤波器的目标函数 )(n 是延迟线抽头系数 (加权或滤波系数 )的二次函数。 当矩阵 R 和矢量 P 已知时，可以由权系数矢量 w 直接求其解。 现在我们将式 (25)对 w 求导数，并令其等于零，同时假设 R 是非奇异的，由此可得到目标函数最小的最佳滤波系数 0w 为 Pw 10 R (26) 这个解称为维纳解，即最佳滤波器系数值。 因为均方误差 (MSE)函数是滤波系数 w 的二次方程，由此形成一个多维的超抛物曲面。 当滤波器工作在平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。 自适应滤波系数的起始值 Miw i ,2,1)} ,0({  是任意值，位于误差性能曲面上的某一点，经过自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达碗底最小点，实现了最佳维纳 滤波。 最陡下降法是利用梯度信息分析自适应滤波性能和跟踪最佳滤波状态，自适应过程是在梯度矢量的负方向接连地矫正滤波系数的，即在误差性能曲面的最陡下降方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小点，获得最佳滤波或准优工作状态。 令 )(n 代表 n 时刻的 1M 维梯度矢量，这里 M 等于滤波器滤波系数的数目； )(nw 为自适应滤波器在 n 时刻的滤波系数或权矢量。 按照最陡下降法调节滤波系数，则在 1n 时刻的滤波系数或权矢量 )1( nw 可以用下列简单递归关系来计算； )]([21)(w)1(w nnn   (27) 基于 LMS 自适应滤波器的设计与实现 12 式中，  是一个正实常数，通常称它为自适应收敛系数或步长 ，用于调整自适应迭代的步长。 注意，对于上式右边第二项系数21有的文献中不用，这时  值相当于减半，其界限值应缩小一倍，根据梯度矢量定义， )(n 可写成 )()()()()()()(w)]([)(212nwnnwnnwnnneEnM  (28) )](x)(2[])(w )()(2[ nneEnnneE   (28) 当滤波系数为最佳值，即是维纳解时，梯度矢量 )(n 应等于零。 有式 (28)得到 0)](x)([ nneE (29) 或 1,1,0。 0)]()([  MiinxneE  (29) 这意味着误差信号与输入信号矢量的每一个分量是正交的。 在此情况下，误差或输入信号都具有零均值，它们的正交 性质内 ，含 着互不相关的意思。 不难证明，当滤波系数 w 等于 0w 时，则由式 (29)可得下列正交性： 0)]()([ nyneE (210) 如果将式 (25)代入式 (28)，得到 )(w2P2)( nRn  (211) 因此，最陡下降法的稳定性取决于两个因素，一是收敛因子  的取值，二是自相关矩阵 R 的特性。 在最陡下降算法中，当相关矩阵 R 与互相关矢量 P 已知时，吉林化工学院毕业设计说明书 13 则由滤波系数矢量 )(wn 可以计算梯度矢量 )(n。 然后把式 (211)代入式 (27)中，可以计算出滤波 系数的更新值： ,2,1,0)]。 (wP[)(w)1(w  nnRnn  (212) 上式是描述最陡下降法的数学公式，由此可得到信号流图，如图 25 所示，式 (212)右边可以整理写成 )(w)I( nR 项加上 P ，这里 I 是 MM 单位矩阵，而滤波系数矢量 )(wn 可以为由 )1(w n 经过单位延时算子 1z 得到的，即)]1(w[)(w 1   nzn。 RIΣP )1( nw I1z )( nw 图 24 最陡下降算法的信号流图 (SFG) 由图 24 可见，最陡下降算法含有反馈的模型，存在稳定性问题。 它的稳定性能取决于两个因素： (1)自适应步长参数  ； (2)输入信号矢量 )(xn 的自相关矩阵 R。 上述两个参数完全控制着反馈回路的转移函数。 自 适应滤波器的结构 自适应滤波器的结构有 FIR(Finite duration Impulse Response)和 IIR(Infinite duration Impulse Response)两种。 通常我们称 FIR 滤波器为有限脉冲响应滤波器，IIR 滤波器为无限脉冲响应滤波器。 同时， FIR 和 IIR 又有多种实现结构，如横向结构滤波器、格式结构滤波器、级联结构滤波器、并联结构滤波器等 [10]。 在选择自适应滤波器结构时，除了要看用途和各 结构的特点外，还要考虑其它因素。 如果滤波器的结构合理，这个函数就简单，否则函数就会变得复杂。 简单的函数使得滤波器能快速的更 新参数。 图 23 所示 为一种横式结构，权系数与滤波器输出是线性关系，此结构在自适应滤波器中应用普遍。 由于 IIR 滤波器存在稳定性的问题 ,因此一般采用 FIR 滤波器。 由于 FIR 滤基于 LMS 自适应滤波器的设计与实现 14 波器横向结构的算法具有容易实现和计算量少等优点 ,在对线性相位要求不严格、收敛速度不是很快的场合 ,多采用 FIR 作为自适应滤波器结构 [11]。 本章小结 维纳滤波器是随机信号处理过程中经常用到的线性最优滤波器，它是 自适应滤波器的基础。 本章首先从维纳最优滤波器开始介绍，介绍了维纳最优滤波的基本思想。 第二部分介绍了最速下降算法，并对它的稳定性分析进行了归纳概括。 第三部分介绍了数字信号处理中滤波器的基本结构。 吉林化工学院毕业设计说明书 15 第 3 章 最小均方算法及 MATLAB 仿真分析 引言 如第二章所述，最陡下降算法能收敛到最佳维纳解，且与起始条件无关。 但是最陡下降算法的主要限制是它需要准确测得每次迭代的梯度矢量，这妨碍了它的应用。 为了减少计算复杂度和缩短自适应收敛时间，许多学者对这方面的新算法进行了研究。 基本最小均方算法 在最陡下降法中，如果我们能够在迭代过程的每一步得到梯度 )(n 的准确值，并且适当地选择了收敛因子  ，则最陡下降法肯定会收敛于最佳维纳解。 然而，在迭代的每一步准确地测量梯度矢量是难以做到的。 因为这需要具有关于自相关矩阵 R 和互相关矢量 P 的先验知识。 在实际应用中，梯度矢量需要在迭代的每一步依据数据进行估计。 换句话说，自适应滤波器的权矢量是根据输入数据在最 优准则的控制下不断更新的。 1960 年，美国斯坦福大学的 Widrow 等提出了最小均方 (LMS)算法，该算法就是一种以期望响应和滤波器输出信号之间误差的均方值最小为准则，依据输入信号在迭代过程中估计梯度矢量，并更新权系数已达到最佳的自适应迭代算法。 这是一种用瞬时值估计梯度矢量的方法，即 )(x)(2)(w)]([)(ˆ 2nnennen (31) 实际上， )(ˆn 只是单个平方误差 序列的梯度，而 )(n 则是多个平方误差。 可见，这种瞬时估计法是无偏的，因为它的期望值 )](ˆ[ nE 确实等于式 (28)的梯度矢量 )(n。 所以，按照自适应滤波器滤波系数矢量的变化与梯度矢量估计的方向之间的关系，可以写出 LMS 算法的公式如下： )](ˆ[21)(wˆ)1(wˆ nnn   )(x)()(wˆ nnen  (32) 如果式 (21)与式 (22)代入到上式中，则可得到 基于 LMS 自适应滤波器的设计与实现 16 )()(x)(wˆ)](x)(xI[ )(x)(wˆ)()[(x)(wˆ)1(wˆ ndnnnn nnndnnn HH    (33) 由上式可以得到自适应 LMS 算法的信号流图，这是一个具有反馈形式的模型，如图 31 所示。 如同最陡下降算法，我们利用时间 0n 的滤波系数矢量为任意的起始值 )0(w ，然后开始 LMS 算法的计算，其步骤如下。 )(nx  )(ne )(nd )( nHx)1( nw )w n(I I1z 图 31 自适应 LMS算法信号流图 （ 1）由现在时刻 n 的滤波器滤波系数矢量估值 )(wˆn ，输入信号矢量 )(xn 以及期望信号 )(nd ，计算误差信号： )(wˆ)(x)()( nnndne H (34) （ 2） 利用递归法计算滤。