高二数学数形结合思想

高二数学数形结合思想内容摘要：

114 6 1 0 ,5 1 0 1 5 .adad， 112 3 5 ,2 3 .adad， 41 3a a d． 建立平面直角坐标系1a O d，画出可行域 112 3 523adad（ 如 图 3 13 ）， 画出目标函数即直线41 3a a d， 当直线41 3a a d过可行域内 ( 1 , 1 )点时截距最大 ， 此时目标函数取最大值 4 4a ． 图 3 13【 例 4 】 已知向量( 2 , 0 )OB ,( 2 c o s , 2 s i n )CA ，( 2 , 2 )OC , 则OA与OB夹角的最小值和最大值依次是（ ） . （ A ）4,0 ( B )125,4 ( C) 125,12 ( D)2,125  【 分析及解 】 本题用直接法相当麻烦 , 下面先用直接法求解 . 由 2 2 c o s , 2 2 s i nO A O C C A     及( 2 , 0 )OB 可知 , 向量OA与向量OB的夹角就是直线OA的 倾斜角 , 向量OA是直线OA的方向向量 , 于是 2 2 s in 2 s inta n2 2 c o s 2 c o s. 设2 s inta n2 c o sk, 则 2 c o s 2 s i nkk   ,     221s i n c o s 2 1 , s i n ,1kkkk        由于 s i n 1 , 则22111kk, 解得 2 3 2 3k   , 即 5ta n 2 3 ta n 2 3 ta n1 2 1 2k      , 于是 51 2 1 2,m in m a x5,12 12 . 故选 ( C) . 而根据向量的几何意义 用图形解题 就比较简单 . 由 2 2 c o s , 2 2 s i nOA    则点 A 在以 2 , 2C为圆心 ,2为半径的圆上 , 又由已知 , ( 2 , 0 )OB , 则 OB 是Ox轴上的一个向量 , 所以圆C上的点与 0 , 0点的连线的倾斜角即为 OA 与 OB 的夹角 . 如图 3 14 , 可以求出 ,A O x 4 6 12  ,DOx 54 6 12  . 因而 , m in m a x5,12 12 , 选 ( C ) . 图 3 144 . 对于 求值或比较大小 的问题 , 用图形分析帮助解决问题的关键是 借助于图形，进行观察与计算。 【例 1 】 （ 20 07 天津卷 , 理） 设,abc均为正数 , 且122 l o g ,aa 121l o g ,2bb 21l og ,2cc则 ( ) . A .abc B . c b a C .c a b D . bac 【 分析及解 】 由题意画出函数 21212 , , l o g , l o g2xxy y y x y x   的图象（图 3 15 : 从图象可得abc, 故选 ( A) . 图 3 15【例 2 】 ( 200 5 江苏卷 ) △ A B C 中，, 3 ,3A B C则 △ A B C 的周长为 ( ) . A .4 3 si n( ) 33B B .4 3 si n( ) 36B C .6 s i n( ) 33B D .6 s i n( ) 36B 【 分析及解 】 本题用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算 可以 完成 , 但是注意到数形结合 ,可以很快解决问题 . 为此 , 延长CA到 D , 使 ABAD  （图 3 16 ） , 则 ACABCD ,6C BD B    ,6 D 由正弦定理6s i ns i n BACABDBC, 即6s i n6BACAB, 由此 , 选 ( C ) . 图 3 16【例 3 】 （ 20 07 全国Ⅰ卷，理 ） 抛物线2 4yx的焦点为 F ，准线为l，经过 F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点 A ，A K l⊥，垂足为 K ，则A K F△的面积是（ ） A ． 4 B ．33 C ．43 D ．8 【 分析及解 】 如图 3 17 ，过 A 作A B x轴于 B ，设准线l与 x 轴交点为 C ，直线 FA ：3 ( 1 )yx，代入2 4yx，解得3Ax ， 4AK  ， 又直线的斜率为3, 则 60A A F x    , 再由抛物线的定义知 AF AK , 从而 AFK 是边长为 4 的正三角形 . ∴234 4 34AFKS  ．故选 C. 图 3 17【例 4 】 ( 20 07 全国Ⅱ卷 , 理 ) 在ABC△中，已知 D 是 AB 边上一点，若2A D D B ， 13C D C A C B，则 （ ） A ．23 B ．13 C ．13 D ．23 【 分析及解 】 本题可以通过 向量运算求出的值，但是画图会更简单 . 作出ABC, 过 D 作//D F A C交BC于 F , 作//D E A C交AC于 E （图 3 18 ） , 由 2AD DB 得12,33CE CA CF CB, 于是 ,1233C D C E C F C A C B。