高二数学抛物线的定义与标准方程

高二数学抛物线的定义与标准方程内容摘要：

求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点 (－ 3,2)； (2)焦点在直线 x－ 2y－ 4＝ 0上 ． 【 思路点拨 】 首先判断焦点可能存在的位置 ，设出适当的方程的形式 ， 然后求出参数 p即可 ． 【解】 ( 1 ) 当抛物线的焦点在 x 轴上时， 可设抛物线方程为 y2＝－ 2 p x ( p 0 ) ， 把点 ( － 3 , 2 ) 代入得 22＝－ 2 p ( － 3) ， ∴ p ＝23， ∴ 所求抛物线方程为 y2＝－43x . 当抛物线的焦点在 y 轴上时， 可设抛物线方程为 x2＝ 2 py ( p 0 ) ， 把 ( － 3 , 2 ) 代入得 ( － 3)2＝ 2 p 2 ， ∴ p ＝94， ∴ 所求抛物线方程为 x2＝92y . 综上，所求抛物线的方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y . ( 2 ) 直线 x － 2 y － 4 ＝ 0 与 x 轴的交点为 ( 4 , 0 ) ，与 y轴的交点为 (0 ，－ 2) ，故抛物线焦点为 ( 4 , 0 ) 或 (0 ，－ 2) ， 当焦点为 ( 4 , 0 ) 时，设抛物线方程为 y2＝ 2 px ( p 0 ) ， ∵p2＝ 4 ， ∴ p ＝ 8 ， ∴ 抛物线方程为 y2＝ 16 x ； 当焦点为 (0 ，－ 2) 时， 设抛物线方程为 x2＝－ 2 py ( p 0 ) ， ∵ －p2＝－ 2 ， ∴ p ＝ 4 ， ∴ 抛物线方程为 x2＝－ 8 y . 综上，所求抛物线方程为 y2＝ 16 x 或 x2＝－ 8 y . 【 名师点评 】 (1)确定抛物线的标准方程 ， 从形式上看 ， 只需求一个参数 p， 但由于标准方程有四种类型 ， 因此 ， 还应确定开口方向 ， 当开口方向不确定时 ， 应进行分类讨论 ． 有时也可设标准方程的统一形式 ， 避免讨论 ， 如焦点在 x轴上的抛物线标准方程可设为 y2＝ 2mx(m≠ 0)，焦点在 y轴上的抛物线标准方程可设为 x2＝2my(m≠ 0)． (2)求抛物线标准方程的方法： 特别注意在设标准方程时 ， 若焦点位置不确定 ， 要分类讨论 ． 自我挑战 2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． ( 1 ) 过点 (3 ，－ 4) ； ( 2 ) 焦点在直线 x ＋ 3 y ＋ 15 ＝ 0 上； ( 3 ) 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52。