高二数学平面向量的数量积及平面向量的应用

高二数学平面向量的数量积及平面向量的应用内容摘要：

，其中 O为坐标原点， 求 sin 2θ的值． AC BC( 2 ) 1O A O B O C  解析： (1)∵ A(1,0)， B(0,1)， C(2sinθ， cosθ)， ∴ ＝ (2sinθ－ 1， cosθ)， ＝ (2sinθ， cosθ－ 1)． ∵ | |＝ | |， ∴ ， 化简得： 2sinθ＝ cosθ， ∵ cosθ≠ 0(若 cosθ＝ 0，则 sinθ＝ 177。 1，上式不成立 )， ∴ tanθ＝ . AC BC 2 2 2 2( 2 sin 1 ) c o s ( 2 sin ) ( c o s 1 )       12ACBC(2)∵ ＝ (1,0)， ＝ (0,1)， ＝ (2sinθ， cosθ)， ∴ ＝ (1,2)． ∵ ， ∴ 2sinθ＋ 2cosθ＝ 1， ∴ sinθ＋ cosθ＝ ， ∴ (sinθ＋ cosθ)2＝ ， ∴ sin2θ＝ . OA OB OC2OA OB( 2 ) 1O A O B O C  121434题型二 模长与垂直问题 【 例 2】 已知 |a|=4， |b|=8， a与 b的夹角是 120176。 . (1)计算 |a+b|， |4a2b|； (2)当 k为何值时， (a+2b)⊥ (k ab)? 分析： (1)利用模长公式 |a|＝ 和 |a＋ b|＝ 求解． (2)利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求 k. 2a 2()ab解：由已知得， ab＝ |a||b|cos 120176。 ＝ 4 8 ＝－ 16. (1)∵ |a＋ b|2＝ a2＋ 2ab＋ b2＝ 16＋ 2 (－ 16)＋ 64＝ 48， ∴ |a＋ b|＝ 4. ∵ |4a－ 2b|2＝ 16a2－ 16ab＋ 4b2＝ 16 16－ 16 (－ 16)＋ 4 64＝ 3 162， ∴ |4a－ 2b|＝ 16. 1()2(2)若 (a＋ 2b)⊥ (k a－ b)， 则 (a＋ 2b)(k a－ b)＝ 0， ∴ k a2＋ (2k－ 1)ab－ 2b2＝ 0， 即 16k－ 16(2k－ 1)－ 2 64＝ 0， ∴ k＝－ 7. 解析： (1)方法一： b＋ c＝ (cos β－ 1， sin β)， 则 |b＋ c|2＝ (cos β－ 1)2＋ sin2β＝ 2(1－ cos β)， ∵ － 1≤cos β≤1， ∴ 0≤|b＋ c|2≤4，即 0≤|b＋ c|≤2. 当 cos β＝－ 1时，有 |b＋ c|＝ 2， ∴ 向量 b＋ c的长度的最大值为 2. 方法二： ∵ |b|＝ 1， |c|＝ 1， |b＋ c|≤|b|＋ |c|＝ 2， 当 cos β＝－ 1时，有 b＋ c＝ (－ 2,0)，即 |b＋ c|＝ 2， ∴ b＋ c的长度的最大值为 2. 变式 21 (2020湖北 )已知向量 a=(cos a， sin a)， b=(cos b， sin b)， c=(1,0)． (1)求向量 b+c的长度的最大值； (2)设 ， 且 a⊥ (b+c)，求 cos b的值． 4(2)方法一：由已知可得 b＋ c＝ (cosβ－ 1， sinβ)， a(b＋ c)＝ cosαcosβ－ cosα＋ sinαsinβ＝ cos(α－ β)－ cosα. ∵ a⊥ (b＋ c)， ∴ a(b＋ c)＝ 0，即 cos(α－ β)＝ cosα. 由 ，得 cos ＝ cos ， 即 β－ ＝ 2kπ177。 (k∈ Z)， ∴ β＝ 2kπ＋ 或 β＝ 2kπ(k∈ Z)， 于是 cos β＝ 0或 cos β＝ 1. 4 ()4  44。