高二数学函数的奇偶性和周期性

高二数学函数的奇偶性和周期性内容摘要：

， x1， ∴ f(x)=(x)+2=x+2=f(x)． 当 x1时， f(x)=x+2， x1， ∴ f(x)=x+2=f(x)． 当 1≤x≤1时， f(x)=0， 又 1≤x≤1， ∴ f(x)=f(x)=0. ∴ 对定义域内的每个 x都有 f(x)=f(x)， ∴ f(x)是偶函数． 判断下列函数的奇偶性． 变式 11 22,0(1 ) ( ),0x x xfxx x x  22( 2 ) ( ) 3 3f x x x   (3)f(x)=x2|xa|+2. 解析 :(1)当 x0时， x0，则 f(x)=(x)2(x)=x2+x=f(x)； 当 x0时， x0，则 f(x)=(x)2+(x)=x2x=f(x)． ∴ 对任意 x∈ (∞， 0)∪ (0， +∞)都有 f(x)=f(x)， 故 f(x)为偶函数． (2)由 得 x= 或 x= ， ∴ 函数 f(x)的定义域为 { ， }． 又 ∵ 对任意的 x∈ { ， }， f(x)=0， ∴ f(x)=f(x)=f(x)． ∴ f(x)既是奇函数又是偶函数． 223030xx  333333(3)函数 f(x)的定义域为 R. 当 a=0时， f(x)=f(x)， ∴ f(x)是偶函数； 当 a≠0时， f(a)=a2+2， f(a)=a22|a|+2， f(a) ≠ f(a)，且 f(a)+f(a)=2(a2|a|+2) ， ∴ f(x)是非奇非偶函数． 2172 | | 022a   题型二 奇偶性的应用 【 例 2】 (1)已知函数 f(x)= (a， b， c∈ Z)是奇函数，又 f(1)=2， f(2)3，求 a， b， c的值； (2)已知偶函数 f(x)在 (0， +∞)上是增函数，且 f(3x1)f(2x)，求 x的取值范围． 2 1axbx c分析： 第 (1)小题关键是 f(x)=f(x)恒成立的应用， 即 对定义域中任何 x都成立， 所以 bx+c=bxc恒成立，可得 c=0； 第 (2)小题关键是利用偶函数的性质 f(x)=f(|x|)， 将 f(3x1)f(2x)转化为 f(|3x1|)f(|2x|)，这样就 避免了讨论． 2211a x a xb x c b x c    解： (1)由 f(x)=f(x)。