高三数学转化与化归的思想方法

高三数学转化与化归的思想方法内容摘要：

产利润逐月增加 ， 且每月增加的利润相同 ， 但由于厂方正在改造建设 ， 元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等 ， 随着投入资金的逐月增加 ， 且每月增加投入的百分率相同 ，到 12月投入建设资金又恰好与 12月的生产利润相同 ， 问全年总利润 m 与 全 年 总 投 入 N 的大 小关系是（ ） N N =N 考题剖析 转化与化归的思想方法 ［ 解析 ］ 每月的利润组成一个等差数列 {an}， 且公差 d＞ 0， 每月的投资额组成一个等比数列 {bn}， 且公比 q＞ =b1， 且 a12=b12， 比较 S12与 T12的大小 .若直接求和 ， 很难比较出其大小 ， 但注意到等差数列的通项公式 an=a1＋ （ n－ 1） d是关于 n的一次函数 ， 其图象是一条直线上的一些点列 .等比数列的通项公式 bn=a1qn－ 1是关于 n的指数函数 ， 其图象是指数函数上的一些点列 . 在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出 ai≥bi 则 S12＞ T12，即 m＞ N. 故选 A. 考题剖析 转化与化归的思想方法 ［ 点评 ］ 把一个原本是求和的问题 ， 退化到各项的逐一比较大小 ， 而一次函数 、 指数函数的图象又是每个学生所熟悉的 .在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵 ， 通过对问题的反思 、 再加工后 ， 使问 题直观、形象，使解答更清新 . 考题剖析 转化与化归的思想方法 考题剖析 x的方程 cos2x＋ 4asinx＋ a－ 2=0在区间 ［ 0,π］ 上有两个不同的解，则实数 a的取值范围是 . ［ 解析 ］ cos2x＋ 4asinx＋ a－ 2＝ 1－ 2sin2x＋ 4asinx＋ a－ 2 =－ 2sin2x＋ 4asinx＋ a－ 1 令 t=sinx， t∈ ［ 0,1］ ， 则原题转化为方程－ 2t2＋ 4at＋ a－ 1＝ 0在 ［ 0,1］ 上有两个根 . 令 f(x)=－ 2t2＋ 4at＋ a－ 1， 由二次函数图象可知： 解得： 14400)1(0)0(0aff5321  a ［点评］ 本题涉及到多种转化，一是三角函数的异名化同名，三角函数转化为代数问题，二是方程的问题转化为函数的问题 . 转化与化归的思想方法 x2＋ px4x＋ p－ 3对一切 0≤p≤4均成立，试求实数 x的取值范围 . ［ 解析 ］ ∵ x2＋ px4x＋ p－ 3 ∴ (x－ 1)p＋ x2－ 4x＋ 30 令 g(p)=(x－ 1)p＋ x2－ 4x＋ 3， 则要使它对 0≤p≤4均有 g(p)0， 只要有 ∴ x3或 x－ 1.   0)4( 0)0(gg ［ 点评 ］ 在有几个变量的问题中 ， 常常有一个变元处于主要地位 ， 我们称之为主元 ， 由于思维定势的影响 ， 在解决这类问题时 ， 我们总是紧紧抓住主元不放 ， 这在很多情况下是正确的 .但在某些特定条件下 ， 此路往往不通 ， 这时若能变更主元 ， 转移变元在问题中的地位 ， 就能使问题迎刃而解 .本题中 ， 若视 x为主元来处理 ， 既繁且易出错 ， 实行主元的转化 ， 使问题变成关于 p的一次不等式 ， 使问题实现了从高维向低维转化 ， 解题简单易行 . 转化与化归的思想方法 考题剖析 7. 已知二次函数 f（ x） =ax2＋ 2x－ 2a－ 1， 其中 x=2sinθ（ 0θ≤ ） . 若二次方程 f（ x） =0 恰有两个不相等的实根 x1和 x2， 求实数 a的取值范围 . 6π7 ［分析］。