高二数学概率、统计与统计案例

高二数学概率、统计与统计案例内容摘要：

， ( 1 7 6 , 1 7 3 )共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事件：( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 ) ， ∴ P ( A ) ＝410＝25. 探究提高 ( 1 ) 本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算，其中从茎叶图中读出数据是关键，为此，首先要弄清 “ 茎 ” 和 “ 叶 ” 分别代表什么． ( 2 ) 要熟练掌握众数、中位数、 平均数、方差、标准差的计算方法． 变式训练 4 ( 2 0 0 9 安徽 ) 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A ，将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验，两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据 ( 单位：千克 ) 如下： 品种 A ： 3 5 7 , 3 5 9 , 3 6 7 , 3 6 8 , 3 7 5 , 3 8 8 , 3 9 2 , 3 9 9 ， 4 0 0 , 4 0 5 , 4 1 2 , 4 1 4 , 4 1 5 , 4 2 1 , 4 2 3 , 4 2 3 ， 4 2 7 , 4 3 0 , 4 3 0 , 4 3 4 , 4 4 3 , 4 4 5 , 4 4 5 , 4 5 1 , 4 5 4 品种 B : 3 6 3 , 3 7 1 , 3 7 4 , 3 8 3 , 3 8 5 , 3 8 6 , 3 9 1 , 3 9 2 ， 3 9 4 , 3 9 4 , 3 9 5 , 3 9 7 , 3 9 7 , 4 0 0 , 4 0 1 , 4 0 1 ， 4 0 3 , 4 0 6 , 4 0 7 , 4 1 0 , 4 1 2 , 4 1 5 , 4 1 6 ， 4 2 2 , 4 3 0 ( 1 ) 完成茎叶图； ( 2 ) 用茎叶图处理现在的数据，有什么优点。 ( 3 ) 通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论． 解 ( 1 ) 茎叶图如图所示 . ( 2 ) 由于每个品种的数据都只有 25 个，样本不大，画茎叶图很方便．此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据． ( 3 ) 通过观察茎叶图可以看出： ① 品种 A 的亩产平均数( 或均值 ) 比品种 B 高； ② 品种 A 的亩产标准差 ( 或方差 )比品种 B 大，故品种 A 的亩产稳定性较差． 题型五 线性回归方程 例 5 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差 x(℃ ) 10 11 13 12 8 发芽数 y(颗 ) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的2 组数据进行检验． ( 1 ) 求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率； ( 2 ) 若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 若由线性回归方程得到的 估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问 ( 2 ) 中所得的线性回归方程是否可靠。 思维启迪 ( 1 ) 问题属古典概率，可先求两组数据不相邻的概率． ( 2 ) 求线性回归方程，再验证线性回归方程 的可靠性． 解 ( 1 ) 设事件 A 表示 “ 选取的 2 组数据恰好是不相邻 2天的数据 ” ，则 A 表示 “ 选取的数据恰好是相邻 2 天的数据 ” ． 基本事件总数为 10 ，事件 A 包含的基本事件数为 4. ∴ P ( A ) ＝410＝25， ∴ P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝35. ( 2 ) x ＝ 12 ， y ＝ 27 ， ∑3i ＝ 1xiyi＝ 977 ， ∑3i ＝ 1x2i＝ 434 ， ∴ b^ ＝∑3i ＝ 1xiyi－ 3 x y∑3i ＝ 1x2i－ 3 x2＝9 7 7 － 3 12 274 3 4 － 3 122＝ 2 . 5 ， a^ ＝ y － b x ＝ 27 － 2 . 5 12 ＝－ 3 ， ∴ y^ ＝ 2 . 5 x － 3. ( 3 ) 由 ( 2 ) 知：当 x ＝ 10 时， y ＝ 22 ，误差不超过 2 颗； 当 x ＝ 8 时， y ＝ 17 ，误差不超过 2 颗． 故所求得的线性回归方程是可靠的． 探究提高 ( 1 ) 正确理解计算 b^ 、 a^ 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． ( 2 ) 在分析两个变量的相关关系时，可根据样本 数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 变式训练 5 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x ( 吨 ) 与相应的生产能耗y ( 吨标准煤 ) 的几组对照数据． x 3 4 5 6 y 2 . 5 3 4 4 . 5 ( 1 ) 请画出上表数据的散点图； ( 2 ) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 已知该厂技改前 1 0 0 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根据 ( 2 ) 求出的线性回归方程预测生产 1 0 0吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤。 ( 参考数值： 3 2 . 5 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 4 . 5 ＝ 6 6 . 5 ) 解 ( 1 ) 如下图所示： ( 2 ) 由对照数。