高二数学排列与组合、二项式定理

高二数学排列与组合、二项式定理内容摘要：

∴ 常数项为2116. ( 2 ) 设第 r ＋ 1 项是含 x3的项，则有 Cr9ax9 － r－ x2r＝94x3，得 xr － 9 ＝ x3， 故32r － 9 ＝ 3 ，即 r ＝ 8. ∴ C89a－ 128＝94， ∴ a ＝ 4. 2rx( 3 ) 方法一 ∵ ( x2＋ 3 x ＋ 2)5＝ ( x ＋ 1)5( x ＋ 2)5，由于 ( x2＋ 3 x ＋ 2)5的展开式中含 x 的项是 ( x ＋ 1)5展开式中的一次项与 ( x ＋ 2)5展开式中的常数项之积，以及 ( x ＋ 1)5展开式中的常数项与 ( x ＋ 2)5展开式中的一次项之积的代数和． ∴ 含 x 的项为 C45 x C5525＋ C55 1 C45 x 24＝ 2 4 0 x . 方法二 ( x2＋ 3 x ＋ 2)5展开式中的一次项是 5 个括号中有 1 个括号内取 3 x ，其余 4 个括号内取常数项 2 相乘得到的，即 C153 x C4424＝ 2 4 0 x . 探究提高 求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或特定项问题，是二项式定理的基本问题，通常用通项公式来解决．如 ( 1 ) ( 2 ) 两小题，通过设未知数，借助通项公式，建立方程，最后再用通项公式得到相应的项或相应项的系数．在应用通项公式时，要注意以下几点： ( 1 ) 它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 r 确定，该项就随之确定； ( 2 ) Tr＋1是展开式中的第 r ＋ 1 项，而不是第 r 项； ( 3 ) 公式中 a ， b 的指数和为 n 且 a ， b 不能随便颠倒位置； ( 4 ) 要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； ( 5 ) 对二项式 ( a － b )n展开式的通项公式要特别注意符号问题． 变式训练 3 已知12＋ 2 xn. ( 1 ) 若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项 式系数最大的项的系数； ( 2 ) 若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ，求展开式中系数最大的项． 解 ( 1 ) 因为 C4n ＋ C6n ＝ 2C5n ，所以 n2－ 21 n ＋ 98 ＝ 0 ， 解得 n ＝ 7 或 n ＝ 14 ，当 n ＝ 7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T 4 和 T 5 . 所以 T 4 的系数＝ C37124 23＝352， T 5 的系数＝ C47123 24＝ 7 0 . 当 n ＝ 14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. 所以 T8的系数＝ C71412727＝ 3 4 3 2 . ( 2 ) 因为 C0n＋ C1n＋ C2n＝ 79 ，所以 n ＝ 12 或 n ＝－ 1 3 ( 舍去 ) ． 设 Tk ＋ 1项的系数最大． 因为12＋ 2 x12＝1212(1 ＋ 4 x )12， 所以 Ck124k≥ Ck － 1124k － 1Ck124k≥ Ck ＋ 1124k ＋ 1，所以 9 . 4 ≤ k ≤ 1 0 . 4 . 又因为 0 ≤ k ≤ 12 且 k ∈ N ，所以 k ＝ 1 0 . 所以展开式中系数最大的项为 T11. T11＝1212C1012410x10＝ 1 6 8 9 6 x10. 题型四 二项式定理中的 “ 赋值 ” 问题 例 4 ( 2 0 0 9 陕西 ) 若 (1 － 2 x )2 0 0 9＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ „ ＋ a 2 0 0 9 x2 0 0 9 ( x ∈ R ) ，则a 12＋a 222 ＋ „ ＋a 2 0 0 922 0 0 9 的值为 ( ) A ． 2 B ． 0 C ．－ 1 D ．－ 2 思维启迪 观察式子的特点，利用赋值法求解． 解析 ∵ (1 － 2 x )2 0 0 9＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ „ ＋ a 2 0 0 9 x2 0 0 9( x ∈ R ) ， ∴ 令 x ＝ 0 ，则 a 0 ＝ 1 ，令 x ＝12， 则1 － 2 122 0。