高二数学三角变换与解三角形

高二数学三角变换与解三角形内容摘要：

，即 A ＝ B ＝3π8时， c o s( A － B ) ＝ 1 ， S 取到最大值1 ＋ 22R2. 探究提高 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．本例中将三角形面积 S 表示为 c o s( A － B )的形式，利用三角函数的知识求解是关键． 变式训练 2 ( 2 0 1 0 辽宁 ) 在 △ A BC 中， a ， b ， c 分别 为内角 A ， B ， C 的对边，且 2 a si n A ＝ (2 b ＋ c ) si n B ＋ (2 c ＋ b ) s i n C . ( 1 ) 求 A 的大小； ( 2 ) 求 si n B ＋ s i n C 的最大值． 解 ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a2＝ (2 b ＋ c ) b ＋ (2 c ＋ b ) c ，即 a2＝ b2＋ c2＋ bc . 由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc co s A ， 所以 co s A ＝－12， 又 0 176。 A 1 8 0 176。 ， 故 A ＝ 1 2 0 176。 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 si n B ＋ si n C ＝ s i n B ＋ s i n ( 6 0 176。 － B ) ＝32co s B ＋12si n B ＝ si n ( 6 0 176。 ＋ B ) ． 故当 B ＝ 3 0 176。 时， s i n B ＋ s i n C 取得最大值 1. 题型三 正、余弦定理的实际应用 例 3 ( 2 0 0 9 福建 ) 如图，某市拟在长为 8 k m 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段 O S M ， 该曲线段为函数 y ＝ A si n ωx ( A 0 ， ω 0 ) ， x ∈ [ 0 , 4 ] 的图象，且图象的最高点为 S ( 3 , 2 3 ) ；赛道的后一部分为折线段 MN P ，为保证参赛运动员的安全，限定 ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 . ( 1 ) 求 A ， ω 的值和 M ， P 两点间的距离； ( 2 ) 应如何设计，才能使折线段赛道 M N P 最长。 思维启迪 （ 1 ）结合图形， 联想 y = A s i n ω x 的性质→ 求 A 、 ω 的值 → 确定 M 、 P 的坐标 → 求两点间的距离． ( 2 ) 可考虑以 ∠ P MN ＝ θ 的大小为设计标准，即确定 θ为何值时，折线段赛道 M N P 最长．或考虑 MN 与 NP的关系为设计标准． 解 方法一 ( 1 ) 依题意，有 A ＝ 2 3 ，T4＝ 3 ， 又 T ＝2πω， ∴ ω ＝π6. ∴ y ＝ 2 3 si nπ6x . 当 x ＝ 4 时， y ＝ 2 3 si n2π3＝ 3 ， ∴ M ( 4 , 3 ) ，又 P ( 8 , 0 ) ， ∴ MP ＝ 42＋ 32＝ 5. ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 ， MP ＝ 5. 设 ∠ PM N ＝ θ ，则 0 176。 θ 6 0 176。 . 由正弦定理得MPsi n 1 2 0 176。 ＝NPsi n θ＝MNsi n ( 60176。 － θ )， ∴ NP ＝10 33si n θ ， MN ＝10 33si n ( 6 0 176。 － θ ) ， ∴ NP ＋ MN ＝10 33si n θ ＋10 33si n ( 6 0 176。 － θ ) ＝10 3312si n θ ＋32c o s θ ＝10 33si n ( θ ＋ 6 0 176。 ) ． ∵ 0 176。 θ 6 0 176。 ， ∴ 当 θ ＝ 30176。 时，折线段赛道 M N P 最长． 即将 ∠ P M N 设计为 3 0 176。 时，折线段赛道 M N P 最长． 方法二 ( 1 ) 同方法一． ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 ， MP ＝ 5 ， 由余弦定理得 MN2＋ NP2－ 2 MN NP c o s ∠ M N P ＝ MP2. 即 MN2＋ NP2＋ MN NP ＝ 2 5 . 故 ( MN ＋ NP )2－ 25 ＝ MN NP ≤MN ＋ NP22， 从而34( MN ＋ NP )2≤ 25 ，即 MN ＋ NP ≤10 33. 当且仅当 MN ＝ NP 时等号成立． 即设计为 MN ＝ NP 时，折线段赛道 M N P 最长． 探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步： ( 1 ) 分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； ( 2 ) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； ( 3 ) 将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解． ( 4 ) 检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 变式训练 3 在海岸 A 处，发现北偏东 45176。 方向，距离 A ( 3 － 1 ) n m i l e 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏 西 7 5 176。 的方向，距离 A 2 n m i l e 的 C 处的缉私船奉命 以 10 3 n m i l e /h 的速度追截走私船．此时，走私 船正以 1 0 n m i l e / h 的速度从 B 处向北偏东 3 0 176。 方向逃 窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船。 解 如图所示，注意到最快追上走私 船且两船所用时间相等，若在 D 处相 遇，则可先在 △ AB C 中求出 BC ，再在。