高二数学三角函数的诱导公式

高二数学三角函数的诱导公式内容摘要：

( π ＋ α )sin ( π ＋ α ) c os α ＝( － sin α ) ( － c os α )－ sin α c os α＝－ 1 ； 当 k 为奇数时，可设 k ＝ 2 m ＋ 1( m ∈ Z ) ， 仿上可得，原式＝－ 1. 法 2 ：由 ( k π ＋ α ) ＋ ( k π － α ) ＝ 2 k π 及 [( k － 1) π － α ] ＋ [( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝ 2 k π 得， sin( k π － α ) ＝－ sin( k π ＋ α ) ， c os[ ( k － 1) π － α ] ＝ c os[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ c os( k π ＋ α ) ， sin[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ sin( k π ＋ α ) ． 故原式＝－ sin ( k π ＋ α ) [ － c os ( k π ＋ α ) ]－ sin ( k π ＋ α ) c os ( k π ＋ α )＝－ 1. [ 例 3] 已知1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 . 求 c os2(π － α ) ＋ sin(π ＋α )c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) 的值． • [分析 ] 由已知出发可求出 tanα的值，利用诱导公式可把被求式转化为含 sinα与 cosα的齐次式，这样进行适当的变形后可将其表示为关于 tanα的表示式，代入值即可求解． [ 解析 ] 解关于 tan α 的方程1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 得， tan α ＝22. ∴ c os2(π － α ) ＋ sin( π ＋ α ) c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) ＝ c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2si n2α ＝c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2sin2αc os2α ＋ sin2α ＝1 ＋ tan α ＋ 2ta n2α1 ＋ tan2α＝1 ＋22＋ 11 ＋12＝4 ＋ 23. • [点评 ] 已知某式的三角函数值，求其它式子的三角函数值，关键是寻求已知式与被求式的内在联系，恰当选择公式，体现了把未知问题转化为已知问题的数学思想． [ 答案 ] －1 － a2a • 若 cos165176。 ＝ a，则 tan195176。 ＝ ________. [ 解析 ] a ＝ c os165176。 ＝ c os( 180176。 － 15176。 ) ＝－ c os15 176。 ， ∴ c os15176。 ＝－ a 0 ， ∴ a 0 ， ∴ sin15176。 ＝ 1 － a2， ∴ tan 195176。 ＝ tan ( 180176。 ＋ 15176。 ) ＝ tan 15176。 ＝sin15176。 c os15176。 ＝－1 － a2a. [ 例 4] 是否存在 α ∈－π2，π2， β ∈ (0 ， π) ，使等式 sin(3π－ α ) ＝ 2 c osπ2－ β ， 3 c os( － α ) ＝－ 2 c os( π ＋ β ) 同时成立。 若存在，求出 α ， β 的值；若不存在，说明理由． • [分析 ] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α与 β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角． [ 解析 ] 由条件得， sin α ＝ 2 sin β ①3 c os α ＝ 2 c os β。