高二数学直线与平面所成的角

高二数学直线与平面所成的角内容摘要：

】 在解答本题过程中，易出现所求角为 150176。 的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别． 自我挑战 1 如图，在体积为 1的直三棱柱 ABCA1B1C1中，∠ ACB＝ 90176。 ， AC＝ BC＝ 1，求直线 A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值． 解： 由题意，可得 V A B C A 1 B 1 C 1 ＝ CC 1 S △ ABC ＝ CC 1 12 AC B C ＝12CC 1 ＝ 1 ， ∴ CC 1 ＝ 2. 如图，分别以 CA 、 CB 、 CC 1 所在直线为 x 轴、 y轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，得点 B ( 0 , 1 , 0 ) ，C 1 ( 0 , 0 , 2 ) ， A 1 ( 1 , 0 ， 2) ，则 A 1 B→＝ ( － 1 , 1 ，－ 2) ， 平面 BB 1 C 1 C 的法向量为 n ＝ ( 1 , 0 , 0 ) ． 设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为 θ ， A1B→与n 的夹角为 φ ， 则 c o s φ ＝A1B→ n| A1B→| | n |＝－66， ∴ s in θ ＝ | c o s φ |＝66. 即直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值是66. 求平面与平面所成的角 利用向量法求二面角的步骤： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角； (5)确定出二面角的平面角的大小． (2020年高考天津卷 )如图 ， 在长方体ABCDA1B1C1D1中 ， E， F分别是棱 BC， CC1上的点 ， CF＝ AB＝ 2CE， AB∶ AD∶ AA1＝ 1∶ 2∶ 4. (1)求异面直线 EF与 A1D所成角的余弦值； (2)证明： AF⊥ 平面 A1ED； (3)求二面角 A1EDF的正弦值 ． 例 2 【 思路点拨 】 解答本题首先建立空间坐标系 ，写出一些点的坐标 ， 再利用向量法求解 ． 【 解 】 如图所示，建立空间直角坐标系，点 A为坐标原点．设 AB＝ 1，依题意得 D(0,2,0)， F ( 1 , 2 , 1 ) ， A1( 0 , 0 , 4 ) ， E ( )1 ，32， 0 . ( 1 ) 易得 EF→＝ ( )0 ，12， 1 ， A1D→＝ ( 0 , 2 ，－ 4) ，于是 c o s〈 EF→，A1D→〉＝EF→ A1D→| EF→|| A1D→|＝－35. 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35. ( 2 ) 证明： 易知＝ ( 1 , 2 , 1 ) ，＝－ 1 ，－32， 4 ， ＝－ 1 ，12， 0 ，于是 ＝ 0 ， ＝ 0. 因此， AF ⊥ EA 1 ， AF ⊥ ED . 又 EA 1 ∩ ED ＝ E ，所以 AF ⊥ 平面 A 1 ED . ( 3 ) 设平面 EFD 的法向量 u ＝ ( x ， y ， z。