高二数学数列的综合应用

高二数学数列的综合应用内容摘要：

1)x＋ a≤0 得 (x－ 1)(x－ a)≤0 ，故分类 讨论． 解： (1)① 当 n＝ 1时， ∵ (a－ 1)S1＝ a(a1－ 1)， ∴ a1＝ a(a＞ 0)． ② 当 n≥2 时，由 (a－ 1)Sn＝ a(an－ 1)(a＞ 0)， 得 (a－ 1)Sn－ 1＝ a(an－ 1－ 1)， ∴ (a－ 1)an＝ a(an－ an－ 1)， 变形得＝ (n≥2) ， 1nnaa∴ {an}是以 a1＝ a为首项， a为公比的等比数列， ∴ an＝ an. (2)① 当 a≥1 时， A＝ {x|1≤ x≤ a}， S2＝ a＋ a2＞ a， ∴ S2 A， 即当 a≥1 时，不存在满足条件的实数 a. ② 当 0＜ a＜ 1时， A＝ {x|a≤ x≤1} ， Sn＝ a＋ a2＋ … ＋ an＝ (1－ an)． 1aa由指数函数的性质得， 当 0＜ a＜ 1， n∈ N*时， an∈ (0， a]， ∴ Sn∈ [ , )1aaa因此对任意的 n∈ N*，要使 Sn∈ A，只需 0 1,1,1aaa  解得 0＜ a≤ ， 12综上所述，实数 a的范围是 1(0, ].2变式 2－ 1 已知函数 f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的图象经过坐标原 点，且 f′(1) ＝ 1，数列 {an}的前 n项和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求数列 {an}的通项公式； (2)若数列 {bn}满足 an＋ log3n＝ log3bn，求数列 {bn}的前 n 项和． 解析： (1)∵ f(x)的图象过原点， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 当 n＞ 1时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 当 n＝ 1时， a1＝ 0满足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ ∴ bn＝ n32n－ 2， 3,nanbn 设 {bn}的前 n项和为 Tn，则 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－ 2， ① 变式 2－ 1 已知函数 f(x)＝ x2－ ax＋ b(a， b∈ R)的图象经过坐标原 点，且 f′(1) ＝ 1，数列 {an}的前 n项和 Sn＝ f(n)(n∈ N*)． (1)求数列 {an}的通项公式； (2)若数列 {bn}满足 an＋ log3n＝ log3bn，求数列 {bn}的 前 n项和． 解析： (1)∵ f(x)的图象过原点， ∴ b＝ 0. ∵ f′(1) ＝ 1， ∴ 2 1－ a＝ 1，即 a＝ 1， ∴ f(x)＝ x2－ x， ∴ Sn＝ n2－ n， 当 n＞ 1时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ n2－ n－ (n－ 1)2＋ (n－ 1)＝ 2n－ 2， 当 n＝ 1时， a1＝ 0满足上式， ∴ an＝ 2n－ 2. (2)∵ an＋ log3n＝ log3bn， ∴ 3,nanbn  ∴ bn＝ n32n－ 2， 设 {bn}的前 n项和为 Tn，则 设 {bn}的前 n项和为 Tn，则 Tn＝ 1 30＋ 2 32＋ 3 34＋ … ＋ n 32n－。