高二数学平面的法向量

高二数学平面的法向量内容摘要：

( b2－ a2＋ c a ＋ c b ) ＝12(| b |2－ | a |2＋ 0 ＋ 0) ＝ 0. ∴ EF→⊥ AB1→， 即 EF ⊥ AB 1 ，同理， EF ⊥ B 1 C ， 又 AB 1 ∩ B 1 C ＝ B 1 ， ∴ EF ⊥ 平面 B 1 AC . 法三：设正方体的棱长为 2 ，建立如图所示的直角坐标系， 则 A ( 2 , 0 , 0 ) ， C ( 0 , 2 , 0 ) ， B1( 2 , 2 , 2 ) ， E ( 2 , 2 , 1 ) ，F ( 1 , 1 , 2 ) ． ∴ EF→＝ ( 1 , 1 , 2 ) － ( 2 , 2 , 1) ＝ ( － 1 ，－ 1 , 1 ) ． AB1→＝ ( 2 , 2 , 2 ) － ( 2 , 0 , 0 ) ＝ ( 0 , 2 , 2 ) ， AC→＝ ( 0 , 2 , 0 ) － ( 2 , 0 , 0 ) ＝ ( － 2 , 2 , 0 ) ． 而 EF→AB 1→＝ ( － 1 ，－ 1 , 1 ) ( 0 , 2 , 2 ) ＝ ( － 1) 0 ＋ ( － 1) 2 ＋ 1 2 ＝ 0 ， EF→AC→＝ ( － 1 ，－ 1 , 1 ) ( － 2, 2 , 0 ) ＝ 2 － 2 ＋ 0 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥ AB 1 ， EF ⊥ AC . 又 AB 1 ∩ AC ＝ A ， ∴ EF ⊥ 平面 B 1 AC . 法四：同法三得 AB1→＝ ( 0 , 2 , 2 ) ， AC→＝ ( － 2 , 2 , 0 ) ． 设面 AB1C 的法向量 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 则 AB1→n ＝ 0 ， AC→n ＝ 0 ， 即 2 y ＋ 2 z ＝ 0－ 2 x ＋ 2 y ＝ 0取 x ＝ 1 ，则 y ＝ 1 ， z ＝－ 1 ， ∴ n ＝ ( 1 , 1 ，－ 1) ∵ EF→＝－ n ， ∴ EF→∥ n ， ∴ EF ⊥ 平面 B1AC . 【 名师点评 】 (1)法一用传统的几何法证明 ， 利用线面垂直的性质及判定 ， 需添加辅助线 ． 法二选基底 ， 将相关向量用基底表示出来 ， 然后利用向量的计算来证明 ． 法三 、 法四建立空间直角坐标系 ， 利用向量 ， 且将向量的运算转化为实数 (坐标 )的运算 ， 以达到证明的目的 ． (2)几何的综合推理有时技巧性较强，而向量代数运算属程序化操作，规律性较强，但有时运算量大，两种处理方法各有优点，不能偏废． 用空间向量证明面面垂直： (1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． (2)证明两个平面的法向量互相垂直． 用向量证明面面垂直问题 例 3 在正棱锥 PABC中 ， 三条侧棱两两垂直 ，G是 △ PAB的重心 ， E、 F分别为 BC、 PB上的点 ， 且 BE∶ EC＝ P。