高二数学圆锥曲线的综合应用

高二数学圆锥曲线的综合应用内容摘要：

迹是焦点为A(3,0)、 B(3,0)，长轴长等于 10的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴上， ∴ 2c=6,2a=10，∴ c=3， a=5， ∴ b2=259=16， ∴ 圆心 C轨迹方程为 + =1，轨迹是椭 圆． 225x 216y变式 2－ 1 例 2中的问题若改为：已知点 P在定圆 O的圆内或圆上，动圆 C过点 P且与定圆 O相切，讨论动圆 C的圆心的轨迹形状，情况怎样呢。 解： 由于点 P的位置不同，动圆 C的圆心会有不同的轨迹形状，所以要分几种情况讨论．设定圆 O的半径为 R，动圆 C的半径为 r.① 若点 P与 O重合 (如图 1)，动圆 C的圆心的轨迹是以 O为圆心， R为半径的圆； ②若点 P在圆 O内且与 O不重合 (如图 2)，则CP=r， CO=Rr，所以 CP+CO=ROP，所以动圆 C的圆心的轨迹是以 O、 P为焦点， R为长轴长的椭圆； ③若点 P在圆 O上 (如图 3)，则动圆 C的圆心的轨迹是直线 OP(除去点 O和点 P)． 12图 1 图 2 图 3 【 例 3】 (2020福建 )已知抛物线 C： y2＝ 2px(p0)过点 A (1 , － 2)． (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于 OA(O为坐标原点 )的直线 l，使得直线 l与抛物线 C有公共点，且直线 OA与 l的距离等于。 若存在，求直线 l的方程；若不存在，说明理由． 题型三 有关直线与圆锥曲线的位置关系的问题 分析：将点 A的坐标代入抛物线方程求出 p的值；关于探索是否存在的问题，一般是先假设存在，设出方程，与抛物线联立，将图象有公共点的问题转化为二次方程有解问题，再利用平行线间的距离公式求解． 解： (1)将点 A (1 , 2)代入抛物线 C： y2=2px(p0)，解得 p=2， ∴ 所求抛物线 C的方程为 y2=4x，准线方程为 x=1. (2)假设存在适合题意的直线 l，设其方程为 y=2x+t，由 得 y2+2y2t=0， ∵ 直线 l与抛物线 C有公共点， ∴ D=4+8t≥0，解得 t≥ . 又 ∵ 直线 OA与 l的距离等于 ， ∴ = ，解得 t=177。 1. ∵ 1∉ ， 1∈ ， ∴ 存在适合题意的直线 l，其方程为 y=2x+1. 224y x tyx   55||5t12151 ,2 1 ,2  。