高二数学三角函数的图象与性质

高二数学三角函数的图象与性质内容摘要：

， k ∈ Z . ∴ y ＝ s i n ( 2 x ＋π3＋ 2 k π) ＝ si n ( 2 x ＋π3) ． 故将函数 y ＝ si n x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象． 答案 A 题型三 三角函数的性质 例 3 已知函数 f ( x ) ＝ s i n ( ωx ＋ φ ) ，其中 ω 0 ， |φ |π2. ( 1 ) 若 c o sπ4c o s φ － s i n3 π4si n φ ＝ 0 ， 求 φ 的值 ； ( 2 ) 在 ( 1 ) 的条件下，若函数 f ( x ) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数 f ( x ) 的解析式；并求最小正实数 m ，使得函数 f ( x ) 的图象向左平移 m 个单位长度后所对应的函数是偶函数． 思维启迪 利用 诱导公式化简 → 利用和、差角公式求φ → 求 f ( x ) 的解析式 → 利用奇偶性确定 m 的值． 解 方法一 ( 1 ) 由 c o sπ4c o s φ － s i n3 π4si n φ ＝ 0 得 c o sπ4c o s φ － si nπ4si n φ ＝ 0 ， 即 c o sπ4＋ φ ＝ 0. 又 |φ |π2， ∴ φ ＝π4. ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 ， f ( x ) ＝ s i nω x ＋π4. 依题意，T2＝π3. 又 T ＝2πω，故 ω ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ si n3 x ＋π4. 函数 f ( x ) 的图象向左平移 m 个单位长度后所对应的函数为 g ( x ) ＝ s i n3 ( x ＋ m ) ＋π4. g ( x ) 是偶函数当且仅当 3 m ＋π4＝ k π ＋π2( k ∈ Z ) ， 即 m ＝k π3＋π12( k ∈ Z ) ．从而，最小正实数 m ＝π12. 方法二 ( 1) 同方法一． ( 2) 由 ( 1) 得， f ( x ) ＝ s inωx ＋π4. 依题意，T2＝π3. 又 T ＝2πω，故 ω ＝ 3 ， ∴ f ( x ) ＝ s in3 x ＋π4. 函数 f ( x ) 的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x ) ＝ s in3 ( x ＋ m ) ＋π4. g ( x ) 是偶函数当且仅当 g ( － x ) ＝ g ( x ) 对 x ∈ R 恒成立． 亦即 s in－ 3 x ＋ 3 m ＋π4＝ s in3 x ＋ 3 m ＋π4对 x ∈ R 恒成立． ∴ s in ( － 3 x ) c os3 m ＋π4＋ c os ( － 3 x ) s in3 m ＋π4 ＝ s in 3 x c os3 m ＋π4＋ c os 3 x s in3 m ＋π4， 即 2s in 3 x c os3 m ＋π4＝ 0 对 x ∈ R 恒成立． ∴ c os3 m ＋π4＝ 0 ，故 3 m ＋π4＝ k π ＋π2( k ∈ Z ) ， ∴ m ＝k π3＋π12( k ∈ Z ) ，从而，最小正实数 m ＝π12. 探究提高 ( 1 ) 求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) ＋ B 的形式，然后再求解． ( 2 ) 对于形如 y ＝ a s i n ωx ＋ b c o s ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为 y ＝ a2＋ b2si n ( ωx ＋ φ ) ( c o s φ ＝aa2＋ b2， s i n φ ＝ba2＋ b2) 的形式来求． 变式训练 3 函数 f ( x ) ＝ A si n ( ωx ＋ φ ) ＋ B ( A 0 ， ω 0 ， |φ |π2)的图象上一个最高点的坐标为 (π12， 3) ，与之相邻的一个最低点的坐标为 (7π12，－ 1) ． ( 1 ) 求 f ( x ) 的表达式； ( 2 ) 当 x ∈ [π2， π] 时，求函数 f ( x ) 的单调递增区间和零点． 解 ( 1 ) 依题意得T2＝7π12－π12＝π2，所以 T ＝ π. 于是 ω ＝2 πT＝ 2. 由 A ＋ B ＝ 3 ，－ A ＋ B ＝－ 1 ，解得 A ＝ 2 ，B ＝ 1. ∴ f ( x ) ＝ 2 si n ( 2 x ＋ φ ) ＋ 1. 把 (π12， 3) 代入 f ( x ) ＝ 2 si n ( 2 x ＋ φ ) ＋ 1 ， 可得 s i n (π6＋ φ ) ＝ 1 ， 所以π6＋ φ ＝ 2 k π ＋π2( k ∈ Z ) ． 所以 φ ＝ 2 k π ＋π3( k ∈ Z ) ． 因为 |φ |π2， 所以 φ ＝π3. 综上 ， f ( x ) ＝ 2 s i n ( 2 x ＋π3) ＋ 1. ( 2 ) 又 ∵ x ∈ [π2， π ] ， ∴4 π3≤ 2 x ＋π3≤7 π3. 令3 π2≤ 2 x ＋π3≤7 π3， 得7 π12≤ x ≤ π。