高二数学空间向量

高二数学空间向量内容摘要：

＋14＋14＝63. 设二面角为 θ ，即 c o s θ ＝63， ∴ t a n θ ＝22. 【 名师点评 】 此题所求的二面角是一个无棱二面角 ， 对于这种求无棱二面角的问题 ，用空间向量求解时 ， 无需作出二面角的平面角 ， 从而体现了空间向量的重要作用 ． 利用空间向量求距离 求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体积法及向量法． 设点 A 到平面 α 的距离为 d ，点 B 是平面 α 内的任意一点， AB→不是平面 α 的法向量，则 d ＝| AB→ n || n |( n 为平面 α 的法向量 ) ． 例 3 【思路点拨】 求出 AD→及平面 ABC 的法向量 n ，再由 d ＝| AD→ n || n |来解答． 已知空间中点的坐标为 A(2,3,1)， B(4,1,2)，C(6,3,6)， D(－ 5， － 4,8)， 求点 D到平面 ABC的距离 ． 【解】 ∵ AB→＝ (2 ，－ 2 , 1 ) ， AC→＝ ( 4 , 0 , 5 ) ， 设平面 ABC 的法向量 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 则 AB→ n ＝ 0AC→ n ＝ 0， ∴ 2 x － 2 y ＋ z ＝ 04 x ＋ 5 z ＝ 0， ∴ x ＝－54z ， y ＝－34z ， ∴ n ＝－54z ，－34z ， z ， 令 z ＝ 4 ，得 n ＝ ( － 5 ，－ 3 , 4 ) ． 又 AD→＝ ( － 7 ，－ 7 , 7 ) ， ∴ 点 D 到平面 AB C 的距离 d ＝| AD→ n || n |＝| 3 5 ＋ 21 ＋ 2 8 |25 ＋ 9 ＋ 16， ∴ d ＝42 25. 【 名师点评 】 用向量的知识来解决立体几何问题是现在高考出题的一个趋势 ， 要将立体几何的问题转化为与向量有关的知识 ， 因为引入向量之后简化了一些繁琐的作辅助线寻找垂线 ， 平面角等步骤 ， 为了更好地利用向量的特点 ， 一般都要在解决的图形中建立坐标系 ， 经常是利用图形中的垂直直线来建坐标系 ． 解题即是对命题的转化 ， 解题中要注意将立体几何问题向平面几何问题转化 ， 即立体问题平面化 ． 在论证线线 、 线面 、 面面关系中的平行与垂直问题时 ， 要注意平行与垂直关系的转化 ， 求角与距离时应将空间中的距离与角转化为向量的投影的长度或向量的夹角 ． 转化与化归的数学思想 例 4 如图，在三棱锥 S ABC 中， △ ABC是边长为 4 的正三角形，平面 S A C ⊥ 平面 ABC ，SA ＝ SC ＝ 2 3 ， M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点． ( 1 ) 证明： AC ⊥ SB ； ( 2 ) 求二面角 N CM B 的余弦值； ( 3 ) 求点 B 到平面 C M N 的距离． 【 解 】。