高二数学同角三角函数的基本关系

高二数学同角三角函数的基本关系内容摘要：

[ 答案 ] (1) 177。 6 ＋ 2 33； (2)13 － 16 27； (3) －15； (4)5 － 23. [ 例 3] 已知 sin α － c os α ＝－55， 180176。 α 270176。 ，求 tan α的值． • [分析 ] sinα与 cosα满足平方关系，故可通过解方程组求解． [ 解析 ] 由 sin α － c os α ＝－55 ( 1 )sin2α ＋ c os2α ＝ 1 ( 2 ) 消去 sin α 得， 5c os2α － 5 c os α － 2 ＝ 0 ， 解得 c os α ＝2 55或 c os α ＝－55. ∵ 180176。 α 270176。 ， ∴ c os α 0 ， ∴ c os α ＝－55， 代入 (1) 中得， sin α ＝－2 55. ∴ tan α ＝sin αc os α＝ 2. (1) 已知 sin x － c os x ＝15(0 ≤ x π ) ，则 tan x ＝ ( ) A ．－34 B ．－43 C.34 D.43 (2) 已知 sin θ ＋ c os θ ＝15， θ ∈ (0 ， π) ，则 sin θ － c os θ ＝________. [ 答案 ] ( 1) D ( 2)75 [ 解析 ] ( 1) ∵ 0 ≤ x π ， sin x － c os x ＝15， ∴ 0 x π2， ∴ tan x 0 ，排除 A 、 B ， ∵ sin x － c os x ＝150 ， ∴ sin x c os x 0 ， ∴ tan x 1 ，排除 C ，故选 D. ( 2) 将 sin θ ＋ c os θ ＝15两边平方得， sin θ c os θ ＝－12250 ， ∵ 0 θ π ， ∴ sin θ 0 ， c os θ 0 ， ∴ sin θ － c os θ 0 ， ∴ sin θ － c os θ ＝ ( sin θ － c os θ )2＝ 1 － 2sin θ c os θ ＝75. • [例 4] 求证： 2(1－ sinα)(1＋ cosα)＝ (1－sinα＋ cosα)2. • [证明 ] 法 1：左边＝ 2－ 2sinα＋ 2cosα－2sinαcosα • ＝ 1 ＋ sin2α ＋ cos2α － 2sinα ＋ 2cosα －2sinαcosα • ＝ (1－ sinα＋ cosα)2＝右边 ． • 法 2：右边＝ 1＋ sin2α＋ cos2α－ 2sinα＋2cosα－ 2sinαcosα＝ 2(1 － sinα＋ cosα－sinαcosα) • ＝ 2(1－ sinα)(1＋ cosα)＝左边 ． • 法 3：右边－左边＝ (1－ sinα)2＋ cos2α＋2cosα(1－ sinα)－ 2(1－ sinα)(1＋ cosα) • ＝ (1－ sinα)2＋ (1－ sin2α)－ 2(1－ sinα) • ＝ (1－ sinα)(1－ sinα＋ 1＋ sinα－ 2)＝ 0. • [点评 ] 证明三角恒等式的基本思路是：观察等式，发现差异 (角的差别、名称的差别、表达式结构特征的差别 )，寻求联系(平方关系、商数关系、平方差、完全平方式等结构关系 )，联想已知，实现转化． • 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简 ． • 常用方法：从左向右证；从右向左证；左 、右归一 ． • 常用技巧：切化弦 、 整体代换 、 1的代换 、方程思想 ． • 求证： • (1)sin4α－ cos4α＝ 2sin2α－ 1； • (2)tan2α－ sin2α＝ tan2αsin2α. • [证明 ] (1)原式左边＝ (sin2α＋ cos2α)(sin2α－ cos2α)＝ sin2α－ cos2α＝ sin2α－ (1－ sin2α)＝ 2sin2α－ 1＝右边 ． ∴ 原式成立 ． • (2) 右 边 ＝ tan2α(1 － cos2α) ＝ tan2α －tan2αcos2α＝ tan2α－ sin2α＝左边 ， ∴ 原式成立 ． [ 例 5] 化简 1 － 2sinα2c osα2＋ 1 ＋ 2sinα2c osα2(0 α π2) ． [ 解析 ] 原式 ＝ ( c osα。