管理运筹学课后答案

管理运筹学课后答案内容摘要：

B→C 3→C 2→B 1→A ，最距离为 16；从 C 到 A 的最短路线为 C→C 3→C 2→B 1→A 或 C→D 3→C 2→B 1→A ，最短距离为 21；从 D到 A 的最短路线为 D→D 3→C 2→B 1→A ，最短距离为 20。 表 51 k sk xk vk vk4=vk+fk+1 fk xk* 4 B1 A 3 3+0 3 A C1 A 8 8+0 8 A D1 A 7 7+0 7 A 3 B2 B1 4 4+3 7 B1 C1 2 2+8 C2 B1 3 3+3 6 B1 C1 8 8+8 D1 7 7+7 D2 C1 4 4+8 12 C1 D1 6 6+7 2 B3 B2 10 10+7 17 B2 C2 13 13+6 C3 B2 12 12+7 11 C2 C2 5 5+6 D2 6 6+12 D3 C2 7 7+6 13 C2 D2 8 8+12 1 B B3 9 9+17 16 C3 C3 5 5+11 C B3 10 10+17 21 C D3 C3 10 10+11 D3 8 8+13 D C3 15 15+11 20 D3 D3 7 7+13 12 某工业部门根据国家计划的安排，拟将某种高效率的设备 5 台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备之后，可以为国家提供的盈利如表 52 所示。 表 52 设备数 工厂 0 1 2 3 4 5 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12 问：这 5 台设备如何分配给 各工厂，才能使国家得到的盈利最大。 解： 将问题按工厂分为 3 个阶段，甲、乙、丙 3 个工厂分别编号为 3； 设 sk 表示分配给第 k 个工厂至第 n 个工厂的设备台数； xk 表示分配给第 k 个工厂的设备台数； 则 sk+1=sk xk 为分配给第 k+1 个工厂至第 n 个工厂的设备台数； Pk(xk)表示 xk 台设备分配给第 k 个工厂所得得盈利值； fk(sk)表示 sk 台设备分配给第 k 个工厂至第 n 个工厂时所得到得最大赢利值。 由以上的假设可写出逆推关系式为 1044( ) m a x [ ( ) ( ) ] , 3 , 2 , 1( ) 0 kkk k k k k k kxsf s P x f s x kfs    下面采用逆推法进行 计算。 第 3 阶段： 设 s3 台设备 (s3=0,1,2,3,4,5)全部分配给工厂丙时，则最大赢利值为 33 3 3 3( ) max[ ( )]xf s P x 其中 x3=s3=0,1,2,3,4,5。 因为此时只有一个工厂，有多少台设备就全部分配给工厂丙，故它的盈利值就 是该段的最大盈利值。 其数值计算如表 53 所示。 表 53 表中 *3x 表示使 33()fs为最大值时的最优决策。 第 2 阶段： 13 设把 s2台设备 (s2=0,1,2,3,4,5)分配给工厂乙和工厂丙时，则对每个 s2 值有一种最优分配方案，使最大盈利值为 22 2 2 2 3 2 2( ) m a x [ ( ) ( ) ]xf s P x f s x   其中 x2=0,1,2,3,4,5。 因为给乙工厂 x2 台，其盈利为 P2(x2)，余下的 s2x2 台就给丙工厂，则它的盈利最大值为f3(s2x2)。 现要选择 x2 的值使 2 2 3 2 2( ) ( )P x f s x取最大值。 其数值计算 如表 54 所示。 表 54 第 1 阶段： 设把 s1 台 (这里只有 s1=5 的情况 )设备分配给甲乙丙 3 个工厂，则最大盈利值为 11 1 1 2 1( 5 ) m a x [ ( ) ( 5 ) ]xf P x f x   其中 x1=0,1,2,3,4,5。 因为给甲工厂 x1台，其盈利为 P1(x1)，剩下的 5x1台就分给一合丙两个工厂，则它的盈利最大值为 f2(5x1)。 现要选择 x1值使 1 1 2 1( ) (5 )P x f x取最大值，它就 是所求的总盈利最大值，其数值计算如表 55 所示。 表 55 然后按计算表格的顺序反推算，可知最优方案有两个： （ 1）由于 *1 0x ，根据 s2=s1 *1x =5 0=5，查表 54 知 *2 2x ，由 s3=s2 *2x =52=3，故*333xs。 即甲工厂分配 0 台、乙工厂分配 2 台、丙工厂分配 3 台。 （ 2）由于 *1 2x ，根据 s2=s1 *1x =5 2=3，查表 54 知 *2 2x ，由 s3=s2 *2x =32=1，故*331xs。 即甲工厂分配 2 台、乙工厂分配 2 台、丙工厂分配 1 台。 以上两个分配方案所得的总盈利均为 21 万元。 在此问题中，如果原设备的太熟不是 5 台，而是 4 台或 3 台，用其他方法求解时，往往需要从头再算，但用动态规划求解时，这些列出的表仍旧有用，只需要修改最后的表格就 14 可得到： 当设备台数位 4 台时，最优分配方案为 * * *1 2 31, 2, 1x x x  或 * * *1 2 32, 2, 0x x x  ，总盈利为 17 万元。 当设备台数位 3 台时，最优分配方案为： * * *1 2 30, 2, 1x x x  ，总盈利为 14 万元。 设有一辆载重量为 15 吨的卡车，要装运 4 种货物。 已知 4 种货物的单位重量和价值如表 56 所示，在装载重量许可的情况下每辆车装载某种货物的条件不限，试问如何搭配这 4 种货物才能使每辆车装载货物的价值最大。 表 56 货物代号 重量 (吨 ) 价值 (千元 ) 货物代号 重量 (吨 ) 价值 (千元 ) 1 2 3 3 4 5 2 3 4 4 5 6 解： 设决策变量 1 2 3 4, , ,x x x x 分别为 4 种货物的装载件数，则问题为一线性整数规划： 1 2 3 41 2 3 4m a x 3 4 5 62 3 4 5 1 5..0 , ( 1 , 2 , 3 , 4 )iz x x x xx x x xstxi       且 为 整 数 将其转化为动态规划问题，分为 4 个阶段，每个阶段的指标函数记为 1 1 1( ) 3g x x ， 2 2 2( ) 4g x x ， 3 3 3( ) 5g x x ， 4 4 4( ) 6g x x 状态变量 sk 表示第 k 种至第 4 种货物 总允许载重量，即 4 ( 1 ) ( 1 , 2 , 3 , 4)kiiks i x k   允许状态集合为 { 0 ,1, 2 , ,1 5 } , 1, 2 , 3 , 4kSk，最优值函数 ()kkfs表示装载第 k 种至第 4 中货物的价值，则动态规划模型为  11()55( ) m a x ( ) ( )( ) 0 ( 4 , 3 , 2 , 1 )k k kk k k k k kx D sf s g x f sf s k   状态转移方程为 1 ( 1 ) , 1 , 2 , 3 , 4k k ks s k x k     允许决策集合为 ( ) 0 , 1 , 2 , , , ( 1 , 2 , 3 , 4 )1kkk sD s kk 即表示在载重量允许的范围内可能装载第 k 种货物的件数。 用 逆推方法求解如下： 4 4 4 4 4 4 4 44 : ( ) m a x { 6 } , ( ) ,k f s x x D s s S    44 4 4( ) 0 , 1 , 2 , , , { 0 , 1 , 2 , , 1 5 }5sD s S； 3 3 3 4 4 3 3 3 3 33 : ( ) m a x { 5 ( ) } , ( ) ,k f s x f s x D s s S     15 33 3 3 4 3 3( ) 0 , 1 , 2 , , , { 0 , 1 , 2 , , 1 5 } , 44sD s S s s x     ； 2 2 2 3 3 2 2 2 2 22 : ( ) m a x { 4 ( ) } , ( ) ,k f s x f s x D s s S     22 2 2 3 2 2( ) 0 , 1 , 2 , , , { 0 , 1 , 2 , , 1 5 } , 33sD s S s s x     ； 1 1 1 2 2 1 1 11 : ( ) m a x { 3 ( ) } , ( 1 5 ) , 1 5k f s x f s x D s      1 2 1(1 5 ) 0 ,1 , 2 , , 7 , 1 5 2D s x  。 最后得到问题的最优解为 * * * *1 2 3 46 , 1, 0 , 0x x x x   ，最优值为 22 千克。 求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵 A 分别为 （ 1） 1/ 2 1 11 1/ 2 11 1 1 （ 2） 2 2 1 61 4 5 1 （ 3）2 7 2 12 2 3 43 5 4 42 3 1 6 （ 4）9 3 1 8 06 5 4 6 72 4 3 3 85 6 2 2 13 2 3 5 4 解： （ 1）由于 m a x m in 1 , m in m a x 1 / 2i j i jjjiiaa  ，所以 A 所对应的支付矩阵没有纯 对策。 即局中人 1 以 (,)的概率分别出策略 2 和 3，其赢得值为。 （ 2）由于 m a x m i n 1 , m i n m a x 2i j i jjjiiaa  ，所以 A 所对应的支付矩阵没有纯对策。 即局中人 1 以 、 的概率分别出策略 1 和策略 2，赢得值为 . （ 3 ）根据赢得矩阵有31m a x m in m in m a x 3i j i jjjiia a a  ，所以 G 的解为31( , ), 3Gv 。 （ 4 ） 根 据 赢 得 矩阵 有23m a x m i n m i n m a x 4i j i jjjiia a a  ，所以 G 的解 为23( , ), 4Gv 。 甲、乙两家公司生产同一种产品，争夺市场的占有率。 假设两家公司市场占有率之和为 100％，即顾客只购买这两家公司的产品，无其他选择。 若公司甲可以采用的商业策略为 A A A3，公司乙可以采用的商业策略为 B B B3。 表 71 给出在不同策略下公司甲的市场占有率。 在此情况下，请为这两家公司选择他们的最优策略。 表 71 B1 B2 B3 A1 A2 16 A3 解： 若完全采用二人常数和对策的方法确定最优纯策略，则由 m a x m i n m i n m a x 0 .5ABij ijjjiiaa 可得，局中人甲采用策略 A局中人乙采用策略 B1，各获得 50%的市场占有率。 从计算结果可以看出，局中人甲采用策略 A局中人乙采用策略 B1，各获得 50%的市场占有率。 某一决策问题的损益矩阵如表 101 所示，其中矩阵元素值为年利润。 表 101 单位：元 （ 1）若各事件发生的概率 jP 是未知的，分别用 max min 决策准则、 max max 决策准则、拉普拉斯准则和最小机会损失准则选出决策方案。 （ 2）若 jP 值仍是未知的，并且  是乐观系数，问  取何值时，方案 S1 和 S3 是不偏不倚的。 （ 3）若 P1=,P2=,P3=,那么用 EMV 准则 会选择哪个方案。 解： （ 1）采用 maxmin 准则应选择方案 S2，采用 maxmax 决策准则应选择方案 S1，采用 Laplace 准则应选择方案 S1，采用最小机会损失准则应选择方案 S1。 （ 2） ； （ 3）方案 S1 或 S3。 假设有外表完全相同的木盒 100 只，将其分为两组，一组内装白球，有 70 盒，另一组内装。