高中数列知识大总结(绝对全)共49页

高中数列知识大总结(绝对全)共49页内容摘要：

na 是等差数列 ④ 前 n 项和公式法： ),(2 为常数BABnAnS n   na 是等差数列 课前热身： 1．等差数列 na 中， ,39741  aaa  963852 ,33 aaaaaa 则（ B ） A． 30 B． 27 C． 24 D． 21 2．等差数列 na 中， )(31,1 2 01191210864Caaaaaaa的值为则  A． 14 B． 15 C． 16 D． 17 1651203232)(32)2(31318999119adadaaaa 3．等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，当 da ， 1 变化时，若 1182 aaa  是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（ A ） 8201513 SCSB SBSA ．． ．． 解： )(23223)6(3131711182aaadaaaa 为定值，∴ 131 aa 为定值， 2 13)( 13113  aaS ，选 A 4．计算机执行以下程序： ⑴ 初始值 03  Sx ， ⑵ 2xx ⑶ xSS  ⑷ 2020S ，则进行 ⑸ ，否则从 ⑵ 继续进行 ⑸ 打印 x ⑹ 停止 那么，语句 ⑸ 打印出的数值为 89 解：由题意知，程序每执行一次所得 x 的值形成一个数列 nx 是等差数列，且首项为 5，公差为 2，相应 S 的值 nS 恰为该数列的前 n 项和，根据题意得： 20 102 2)1(5  nnnS 解得 43n 所以 892)143(543 x 解 5． 设 nS ， nT 分别为等差数列 na 与 nb 的前 n 项和  191952 24 TSnnba nn ，则 514 解： 5145102210422219)(219)(101010101911911911911919bababbaabbaaTS 典例精析 一、等差数列的判定与基本运算 例 1： ⑴ 已知数列 na 前 n 项和 nnSn 92  ① 求证： na 为等差数列 ； ② 记数列 na 的前 n 项和为 nT ，求 nT 的表达式。 ⑵ 数列 na 中， nS 是前 n 项和，当 2n 时 ，)21(2  nnn SaS ① 求证： nS1 是等差数列， ② 设 12  nSb nn，求 nb 的前 n 项和 nT 解： ⑴ ： ① 证明： n =1时， 811 Sa ， 当 2n 时，  102)1(9)1(9 221 nnnnnSSa nnn 也适合该式，∴ 102  nan （ Nn ） ② nT 的表达式为： 409)20(29269506,05225765216521n2nnnnnSSaaaaaaaaaaaTnnnSTnanannnnnnn时，当时，当时，时，   )6(409 )5(922nnn nnnT n ⑵ ： ① 证明：当 2n 时， )21)(()21( 12   nnnnnn SSSSaS 211)(21111nnnnnnSSSSSS即所以 所以nS1 是以 111S为首项， 2 为公差的等差数列。 ② ：由 ① 得 122)1(1)1(111nndnSSn 所以 12 1 nSn 所以 )12 112 1(21)12)(12(112nnnnnSb nn 12)1211(21)121121()5131()311(2121nnnnnbbbT nn点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。 二、公式的应用 例 2：设等差数列 na 的首项 1a 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 nS ① 若 980 1411  Sa ， ，求数列 na 的通项公式 ② 若 7706 14111  Saa ， ，求所有可能的数列 na 的通项公式 解： ① 20201014132981111114addaadaS，解得又，得由 所以数列 na 的通项公式是 ： )(222  Nnna n ② 122020211132601011132607711111111114adadaadadaaaS即有由 由 ① +② 得 71117  dd ，即 131d ，又 Zdd  131711 Zaa  11 1210 ， 所以 1a =11 或 1a =12 故所有可能的数 na 的通项公式是 ： nana nn  1312 和 （ Nn ） 点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和公式，提高运算能力。 三、性质的应用 例 3：已知等差数列 na 中，公差 d 0 前 n 项和为nS ，且满足： 1445 4132  aaaa ， ， ① 求数列的通项公式 ； ② 设 Sb nn ， 一个新数列 nb ，若 nb 也是等差数列，求非零常数 c ； ③ 求1)25()(  nn bn bnf （ Nn ）的最大值 解： na 为等差数列， 3241 aaaa  =14 3232 045 aadaa  ，由又 1495 132  adaa ，， 344)1(1  nna n ∴ 数列 na 的通项公式为 34  nan ② 由 ① 知： cbcbcbnnSbnnnnnSnnn31526112224)1(132122，所以所以 因为 nb 为等差数列，所 以 321 bbb ， 成等差数列，所以 （舍去），所以所以021315112122 312cccccbbb 故所求非零常数 nbcn 221  ，且 ③1)25()(  nn bn bnf 的最大值： ○ 1 ○ 2 ○ 3 361262512526)1(2)25(2)25()(21nnnnnnnnbnbnfNnnn， nn 25 5n 361)( max nf 点拨： ① 利用等差 数列 的“等和性”求出 2a ， 3a ，从而求出 da，1 及通项公式； ② 先求出 nb 的表达式，再由 nb 是等差数列列出关于 c 的方程，解出 c ③ 可利用函数思想，求出 )(nf 的最大值。 数学门诊 若数列 na 是等差数列，数列 nb 满足 21   nnnn aaab （ Nn ），  nb 的前 n 项和为nS ，已知 083 125  aa ，试问 n 为何值时， nS 取得最大值。 并证明你的结论。 错解：因为 083 125  aa ， 0576,00556)7(831555daddadaa，所以所以，所以 可知 na 是首项为正数的递减数列。 最大．，所以，又０）（即，由161165815760576157600SnNnnndddndaann 正解： 0016 1716  aan ，时，当 最大。 中故，即所以且，又，所以，而所以161416161516151815181516151514113141817161617161515181716210059056000SSSSbbbbaadadaSSSSSSSaaabaaabaaaaan 总结提高 1．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公 式，如在等差数列中 ， dnmaa nm )(  ２． 在五个量 nn Sanda ，，1 中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。 33． 已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设 dadaa 2， 外 ， 还 可 设daada  ， ；四个数成等差数列时，可设为mamamama 33  ，＋， 4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元 的方法的应用。 课堂 演练 1 ．设 nS 是 等 差 数列 na 的前 n 项 和， 若 12663 31 SSSS ，则 （ A ） A． 103 Ｂ． 31 Ｃ． 81 Ｄ． 91 解：31156 33 1163  da daSS 021  dda 且 10390276612 156 11126  ddda daSS ２．在等差数列 na 中 132 321  aaa ， ， 则654 aaa  等于（ B ） A． 40 Ｂ． 42 Ｃ． 43 Ｄ． 45 解： 133432 132  ddaaa 423 143423 5654 5   aaaa ad ， 3．等差数列 na 中， 1291 0 SSa  ， ，则前 10或 11 项的和最大。 解： 0912129  SSSS ， 00 030111 11121110   aa aaaa ，又 ， ∴ na 为递减等差数列∴ 1110 SS  为最大。 4． 已知等差数列 na 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为 － 110 解：∵  ，，， 1001102030102020 SSSSSSS  成等差数列，公差为 D 其首项为 10010S ，前 10 项的和为 10100S 1 1 02210101 0 01022102 910101 0 011010100110）（又，SDSSSDD ５． 某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元，该船每年捕捞总收入 50 万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少。 解：设捕捞 n 年后的总盈利为万元，则 10210102)10(29840242。