高一数学函数知识总结及例题

高一数学函数知识总结及例题内容摘要：

经过点Rmm  ),0,2( ，设 )()()()],([)( xfxpgxFxffxg  .问是否存在 实数 )0( pp 使得)(xF 在区间 )]2(,( f 上是减函数，且在区间 )0),2((f 上是减函数。 并证明你的结论。 ［解析］由已知 0)2( mf ，得 02)3(2  amaam ， 其中 .0,  aRm ∴ 0 即 0923 2  aa ， 解得 .3 7213 721  a ∵ a 为负整数，∴ .1a ∴ 1)2(34)2( 2   xxxxf ， 即 .1)( 2  xxf 2422 21)1()]([)( xxxxffxg  ， ∴ .1)12()()()( 24  xppxxfxpgxF 假设存在实数 )0( pp ，使得 )(xF 满足条件，设 21 xx ， ∴ ].12)()[()()( 2221222121  pxxpxxxFxF ∵ 3)2( f ，当 )3,(, 21 xx 时， )(xF 为减函数， ∴ 0)()( 21  xFxF ，∴ .012)(,0 22212221  pxxpxx ∵ 3,3 21  xx ,∴ 182221 xx , ∴ 11612)( 2221  ppxxp , ∴ .0116  p ① 当 )0,3(, 21 xx 时 , )(xF 增函数 ,∴ .0)()( 21  xFxF ∵ 02221 xx ,∴ 11612)( 2221  ppxxp , ∴ 0116  p . ② 由①、②可知 161p ，故存在 .161p （ 5）同步练习： 1．函数 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2） 的单调递减区间是（ ） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ，＋∞） 解析： 先求函数定义域为（－ o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函数 t（ x）在（－∞， 1）上单调递减，在（ 2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上单调递 减． 答案： B 2 找出下列函数的单调区间 . （ 1） )1(232   aay xx ； （ 2） .2 322  xxy 答案： (1)在 ]23,(上是增函数，在 ),23[ 上是减函数。 （ 2）单调增区间是 ]1,1[ ，减区间是 ]3,1[。 讨论 )0,0(),1(lo g  aaay xa 且的单调性。 答案： ,1a 时 ),0(  为增函数， 01 a 时， )0,( 为增函数。 4．求函数 y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的定义域、值域和单调区间． 解： 由  （ x）＝ x2－ 5x＋ 4＞ 0，解得 x＞ 4 或 x＜ 1，所以 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），当 x∈（－∞， 1）∪（ 4，＋∞），｛  ｜  ＝ x2－ 5x＋ 4｝＝ R＋ ，所以函数的值域是 R＋ ．因为函数 y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）是由 y＝31log （ x）与  （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 复合而成，函数 y＝31log （ x）在其定义域上是单调递减的，函数  （ x）＝ x2－ 5x＋ 4在（－∞， 25 ）上为减函数，在［ 25 ，＋∞ ］ 上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性， y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的增区间是定义域内使 y＝31log （ x）为减函数、  （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 也为减函数的区间，即（－∞， 1）； y＝31log（ x2－ 5x＋ 4）的减区间是定义域内使 y＝31log（ x）为减函数、  （ x）＝ x2－ 5x＋ 4 为增函数的区间，即（ 4，＋∞）． 变式练习 一、选择题 1．函数 f（ x） ＝ )1(log21 －x的定义域是（ ） A．（ 1，＋∞） B．（ 2，＋∞） C． （－∞， 2） D． ]21(， 解析： 要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0， 所以  0)1(log 0121 －＞－xx 解得 1＜ x≤ 2． 答案： D 2．函数 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2） 的单调递减区间是（ ） A．（－∞， 1） B．（ 2，＋∞） C．（－∞， 23 ） D．（ 23 ， ＋∞） 解析： 先求函数定义域为（－ o， 1）∪（ 2，＋∞），令 t（ x）＝ x2＋ 3x＋ 2，函数 t（ x）在（－∞， 1）上单调递减，在（ 2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y＝21log（ x2－ 3x＋ 2）在（ 2，＋∞）上单调递减． 答案： B 3．若 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，则 xy 的值为（ ） A． 4 B． 1 或 41 C． 1 或 4 D． 41 错解： 由 2lg （ x－ 2y）＝ lg x＋ lg y，得（ x－ 2y） 2＝ xy，解得 x＝ 4。