北师大版数学七下第七章生活中的轴对称典型例题

北师大版数学七下第七章生活中的轴对称典型例题内容摘要：

FE＝ 21 （ 180176。 － ∠ EAF）， ∵ ∠ BFK＝∠ AFE， ∴ ∠ BFK＝ 21 （ 180176。 － ∠ EAF）， ∴ ∠ B＋∠ BFK＝ 21 （ 180176。 － ∠ BAC）＋ 21 （ 180176。 － ∠ EAF） ∵ ＝ 21 [360176。 －（ ∠ EAF＋ ∠ BAC） ]， ∴ ∠ EAF＋∠ BAC＝ 180176。 ， ∴ ∠ B＋∠ BFK＝ 90176。 ，即 ∠ FKB＝ 90176。 ， ∴ EF⊥ BC． 注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立 EF 与 BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法． 例 7 如下图， AB＝ AC， DB＝ DC， P 是 AD 上一点． 求证：∠ ABP＝∠ ACP． 证明：连结 BC， ∵ AB＝ AC（已知）， ∴ ∠ ABC＝∠ ACB（等边对等角）， 又∵ 点 A、 D 在线段 BC 的垂直平分线上 （与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段 BC 的垂直平分线， ∴ PB＝ PC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴ ∠ PBC＝∠ PCB（等边对等角），（线段垂直平分线的性质） ∴ ∠ ABC－ ∠ PBC＝∠ ACB－∠ PCB（等式性质）， 即∠ ABP＝∠ ACP． 注 本题若用三角形全等，至少需要证两 次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁． 例 8 如下图， AB＝ AC， DE 垂直平分 AB 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若△ ABC 的周长为 28，BC＝ 8，求△ BCE 的周长． 解：∵ 等腰△ ABC 的周长＝ 28， BC＝ 8， ∴ 2AC＋ BC＝ 28， ∴ AC＝ 10， （理由是什么。 ） ∵ DE 垂直平分 AB， ∴ AE＝ BE， ∴ △ BCE 的周长＝ BE＋ EC＋ BC ＝ AE＋ EC＋ BC ＝ AC＋ BC＝ 10＋ 8＝ 18． 注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系． 例 9 已知，如下图，△ ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 120176。 ， EF 为 AB 的垂直平分线， EF交 BC 于 F，交 AB 于 E，求证： FCBF 21 ． 证法一：连结 AF，则 AF＝ BF， ∴ ∠ B＝∠ FAB（等边对等角）， ∵ AB＝ AC， ∴ ∠ B＝∠ C（等边对等角）， ∵ ∠ BAC＝ 120176。 ， ∴ ∠ B＝∠ C＝ 302180  B AC （三角形内角和定理）， ∴ ∠ FAB＝ 30176。 ， ∴ ∠ FAC＝∠ BAC－∠ FAB＝ 120176。 － 30176。 ＝ 90176。 ， 又∵ ∠ C＝ 30176。 ，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一） ∴ FCAF 21 （直角三角形中 30176。 角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ FCBF 21 ． 证法二：连结 AF，过 A 作 AG∥ EF 交 FC 于 G， ∵ EF 为 AB 的垂直平分线， ∴ AF＝ BF， 又∵ ∠ B＝ 30176。 ， ∴ ∠ AFG＝ 60176。 ， ∠ BAG＝ 90176。 ， ∴ ∠ AGB＝ 60176。 ，△ AFG 为等边三角形， 又∵ ∠ C＝ 30176。 ，∴ ∠ GAC＝ 30176。 ， ∴ AG＝ GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法） ∴ BF＝ FG＝ GC＝ FC21 ． 例 10 已知，如下图， AB⊥ BC， CD⊥ BC，∠ AMB＝ 75176。 ，∠ DMC＝ 45176。 ， AM＝ MD．求证： AB＝ BC． 思路分析 从结论分析，要证 AB＝ BC，可连结 AC，使 BC 与。