新课标人教a版高中数学选修1-2单元测试-第二章推理与证明二

新课标人教a版高中数学选修1-2单元测试-第二章推理与证明二内容摘要：

小数， 所以 e 是无理数。 将下列推理恢复成完全的三段论 （ 1）因为三角形 ABC 三边长依次为 5， 12， 13,所以三角形 ABC 为直角三角形； （ 2）函数 12  xxy 的图象是一条抛物线 指出下面三段论的大前提、小前提和结论 （ 1）凡同边数的正多边形都是相似的 （ 2）两个正多边形的边数相同 （ 3）所以这两个正多边形也是相似的 用三段论证明通项公式为 dnaa n )1(1  （ da, 为常数）的数列 na 是等差数列。 直接证明与间接证明 (1) 直接证明 【要点梳理】 直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为 ，它的一般形式为 从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的 为止，这种证明方法称为 从问题的 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到 为止，这种证明方法称为 综合法和分析法的推证过程是 综合法 分析法 【指点迷津】 分析法和综合法各有怎样的优缺点。 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，分析法解题方法较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不偏于思考，实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程。 综合法和分析法的思维 特点。 分析法是从命题的结论出发，分析使结论成立的充分条件，若能够肯定这些条件都已具备，就可以判定结论是正确的。 分析法的特点：有些题目用一般方法较难入手时，可以用分析法探索解题思路，然后再倒回去，得到问题的解决；也可以用分析法直接书写解题过程，步骤要清晰，书写要严格。 综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到问题的解决。 综合法的特点：广泛应用于数学知识的各个方面，是解决问题非常重要的方法。 分析法是和综合法相比较而清晰的，综合法逐步推求已知条件的必要条件，而分析法步步逆向寻求未知事项成立的充 分条件，所以分析法和综合法 思维过程看是互逆的，叙述形式也有区别。 【典型例题】 例 已知 bababa  :,0 求证 证 明 ： abbabbba 22,0  即 ，进而 bab 22  ， 于 是bababababbababa  ,)(0,22 2即。 【点评】综合法从正确地选择已知其为真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所要证明的结论，在用综合法论证命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能够想到从哪里起步，我们一般的处理方法，是广泛地联想已知条件所具备的 各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐步引导到结论。 例 已知 cba , 为不全相等的正数，求证： 3 c cbab baca acb 证明：左边 3    accacbbcbaab cba , 为不全相等的正数 2,2,2  accabccbbaab 且这三式的等号不能同时成立。 （否则 cba  ） 3363     accacbbcbaab 即 3c cbab baca acb 【点评】本题用综合法证明的出发点是以不等式的左端入手，加以变形，灵活运用平均值不等式，这是综合法证明不等式的主要技巧，为创造应用条件，常把分子分成若干部分，对每部分运用重要不等式，然后相加或相乘。 例 已知 cba , 为正实数，求证： )(2222222 cbaaccbba  证明：要证明  cbaaccbba  2222222 ，考虑到所要证明的式子中 cba , 的位置是对称的， 22 ba  只与 ba 建立不等式的关系，同样 22 cb  只与cb 建立不等式的关系， 22 ac  只与 ac 建立不等式的关系，因而要证明结果，只要证明  baba  2222 ，即证明：     222222   baba ，即证明   02 ba ，而此式成立。  baba  2222 ， 同理：    acaccbcb  2 2,2 2 2222 ， 三式相加得  cbaaccbba  2222222 【点评】在证明时，我们有时找不到解题思路或直接证明比较繁琐，常常要观察结论的形式和结构有什么特点，注意与题设之间的联系，去探求解题的路子，在上例中，若用常见的方法两边平方分析就比较麻烦，但是考虑到 cba , 的轮换性，从而确定只要证明 baba  2222 成立，在复杂的证明过程中，常常是分析法和综合法 交叉混合使用，不要截然分开两种证明的方法。 【阶梯练习】 ★基础练习★ 用分析法证明不等式时的推理过程一定是（ ） A、 正向、逆向均可进行正确的推理 B、 只要能进行逆向推理 C、 只要能进行正向推理 D、 有时能正向推理，有时能逆向推理 若 Rba , ，则下面四个式子中恒成立的是（ ） A、   01lg 2 a B、  1222  baba C、 22 23 baba  D、 11baba 设 4,0,0  baba 且 ，则有（ ） A、 211ab B、 2ab C、 111 ba D、 411 ba 设 Rba , ，且 2,  baba ，则必 有（ ） A、 21 22 baab  B、 21 22 baab  C、 12 22  baab D、 12 22  abba ★能力训练★ 设 Rxxxqxp  ,2,12 234 ，则 qp, 的大小关系是 如果 abbabbaa  ，则实数 ba, 应满足的条件是 若  bbaaba  2 4,0 则的最小值为 已知 cba , 为不等正数且 1abc ，求证：cbacba 111  ★链接高考★ （ 2020 北京）数列 }{nx 由下列条件确定： *11 ),(21,0 Nnxaxxax nnn   （ 1）证明：对 ,2n 总有 axn  ； （ 2）证明：对 ,2n 总有 1 nn xx 直接证明与间接证明 (2) 间接证明 【要点梳理】 是一种常用的间接证明的方法。 反证法的证明过程可以概括为“ ”，步骤是：（ 1） （ 2） （ 3） 【指点迷津】 间接证明除了反证法外还有哪些。 还有同一法，枚举法等 归谬包括哪些情形。 包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假定矛盾，以及自相矛盾等情形 【典型例题】 例 求证：当 022  cbxx 有两个不相等的非零实数根时， 0bc 证明：假设 0bc ，则有三种情况出现； （ 1）若 0,0  cb 方程变为 的根是方程 00,0 22212  cbxxxxx ，这与已知方程中有两个不相等的实根矛盾； （ 2）若 000,0,0,0 222222  cxcxccxcb 与时但当方程变为 矛盾 （ 3）若 bxxbxxcb  212 ,0,0,0,0 方程的根为方程变为 ，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾。 综上所述， 0bc 【点评】当结论的反面的情形比较多时，要对每一种情形分别推出矛盾 例 已知： qpxxxf  2)( （ 1） 求证： 2)2(2)3()1(  fff （ 2） 求证： )3()2()1( fff 、 中至少有一个不小于 21 证明：（ 1） 2)24(2)39()1()2(2)3()1(  qpqpqpfff （ 2）假设 )3()2()1( fff 、 中至少有一个不小于 21 不成立，则假设 )3()2()1( fff 、 都小于 21 ，则  )2(2)3()1()3()2(2)1(,2)3()2(2)1( fffffffff 而 2)248()39()1(  qpqpqp ，这与 2)3()2(2)1(  fff 相矛盾，从而假设不成立，从而原命题成立，即 )3()2()1( fff 、 中至少有一个不。