江苏省南通市如皋市20xx年高考数学一模试卷word版含解析

江苏省南通市如皋市20xx年高考数学一模试卷word版含解析内容摘要：

x﹣ 1） ex﹣ ax2，若 y=f（ cosx）在 x∈ [0， π]上有且仅有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 a≤ ﹣ ． 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理． 【分析】 求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可． 【解答】 解：函数 f（ x） =（ x﹣ 1） ex﹣ ax2，可得 f′（ x） =x（ ex﹣ 2a）， 令 x（ ex﹣ 2a） =0 可得， x=0 或 ex=2a，当 a≤ 0 时，函数只有一个零点，并且 x=0是函数的一个极小值点， 并且 f（ 0） =﹣ 1＜ 0，若 y=f（ cosx）在 x∈ [0， π]上有且仅有两个不同的零点， 也就是若 y=f（ x）在 x∈ [﹣ 1， 1]上有且仅有两个不同的零点， 可得： ，即 ，可得 a ． 当 a＞ 0 可得：函数两个极值点为： x=0， x=ln（ 2a），如果 ln（ 2a） ＜ 0，因为 f（ 0） ＜ 0，可知不满足题意； 如果 ln（ 2a） ＞ 0，必有可得： ，即 ，可得 a ．与 a＞ 0 矛盾； 综上： a≤ ﹣ 故答案为： a≤ ﹣ ． 【点评】 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思 想以及转化思想的应用，考查计算能力． 14 ．设实数 x、 y 满足 4x2 ﹣ 2 xy+4y2=13 ， 则 x2+4y2 的取值范围是 ． 【考点】 基本不等式． 【分析】 设 x2+4y2=t2，则 x=tcosα， y= tsinα，代入 4x2﹣ 2 xy+4y2=13，可得t2= = ，利用三角函数的单调性即可得出． 【解答】 解：设 x2+4y2=t2，则 x=tcosα， y= tsinα， ∵ 4x2﹣ 2 xy+4y2=13， ∴t2= = == ， ∴ =﹣ 1 时， t2取得最小值： =10﹣ 4 ； =1 时， t2取得最大值： =10+4 ． 综上可得： t2∈ ． 即 x2+4y2的取值范围是 ． 故答案为： ． 【 点评】 本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 二、解答题（共 6 小题，满分 90 分） 15．（ 14 分）（ 2017•如皋市一模）如图，直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中， AA1=AB，AB⊥ BC，且 N 是 A1B 的中点． （ 1）求证：直线 AN⊥ 平面 A1BC； （ 2）若 M 在线段 BC1上，且 MN∥ 平面 A1B1C1，求证： M 是 BC1的中点． 【考点】 平面与平面垂直的判定． 【分析】 （ 1）证明 AN⊥ BC， AN⊥ A1B，即可证明直线 AN⊥ 平面 A1BC； （ 2）证明 MN∥ A1C1，利用 N 是 A1B 的中点，可得结论． 【解答】 证明：（ 1） ∵ 直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1， ∴ AA1⊥ 平面 ABC， BC⊂平面 ABC， ∴ AA1⊥ BC， ∵ AB⊥ BC， AA1∩ AB=A， ∴ BC⊥ 平面 A1AB， … （ 3 分） ∵ AN⊂平面 A1AB， ∴ AN⊥ BC， ∵ AA1=AB，且 N 是 A1B 的中点， ∴ AN⊥ A1B， ∵ A1B∩ BC=B， ∴ 直线 AN⊥ 平面 A1BC… （ 7 分） （ 2）证明： ∵ MN∥ 平面 A1B1C1， ∴ MN∥ A1C1， ∵ N 是 A1B 的中点， ∴ M 是 BC1的中点 … （ 14 分） 【点评】 本题考 查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 16．（ 14 分）（ 2017•如皋市一模）在 △ ABC 中，已知 cosC+（ cosA﹣ sinA） cosB=0． （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 sin（ A﹣ ） = ，求 sin2C． 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值． 【分析】 （ 1）利用三角形内角和定理消去 C，化简可得 B 的大小． （ 2）利用换元法，把 A 换出来，与三角形内角和定相结合，把 C 表示出来即可求值． 【解答】 解：（ 1）由 cos C+（ cos A﹣ sin A） cos B=0， 根据三角形内角和定理消去 C， 则 cos C+（ cos A﹣ sin A） cos B=﹣ cos（ A+B） +（ cos A﹣ sin A） cos B =﹣ cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣ sinA cosB =sinA sinB﹣ sinA cosB=0； 由 sin A＞ 0，则有 tanB= ． ∵ B∈ （ 0， π）， 故得 B= ． （ 2） sin（ A﹣ ） = ， 令 A﹣ =t，即 sint= ， ∵ ， ∴ ， 则 A= ， 那么： sin2C=sin2（ π﹣ A﹣ B） =sin2（ ） =sin（ 2t+ ） = sin2t+ cos2t， 由 ， ∵ sint= ， ∴ cost= ， sin2t=2sintcost= ， cos2t= 故得 sin2C= 【点评】 本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题． 17．（ 15 分）（ 2017•如皋市一模）如图，矩形公园 OABC 中， OA=2km， OC=1km，公园的左下角阴影部分为以 O 为圆心，半径为 1km 的 圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路 EF（点 E、 F 分别在边 OA 与 BC 上）， D 为切点． （ 1）试求观光道路 EF 长度的最大值； （ 2）公园计划在道路 EF 右侧种植草坪，试求草坪 ABFE 面积 S 的最大值． 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】 （ 1）求出 ∠ DOF= ﹣ ，分别求出 DE， DF，从而求出 EF 的表达式，求出 EF 的最大值即可； （ 2）求出 S=S 矩形 OABC﹣ S 梯形 OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 S 的最大值即可． 【解答】 解：（ 1）设 ∠ DOE=�，因为点 E、 F 分别在边 OA 与 BC 上， 所以 0≤ θ≤ ，则 ∠ DOF= ﹣ ， 在 Rt△ DOE 中， DE=tan�， 在 Rt△ DOF 中， DF=tan（ ﹣ ） = = ， EF=DE+DF=tan�+ = ， ∵ 0＜ θ≤ ， ∴ 当 θ= 时， [cos�]min= ， EFmax=2； （ 2）在 Rt△ DOE 中， OE= ， 由（ 1）可得 CF=DF= ， S=S 矩形 OABC﹣ S 梯形 OEFC=2+ （ 0≤ θ≤ ）， S′= ，令 S′＞ 0，解得： 0＜ θ＜ ， � （ 0， ） （ ， ） S’ + 0 ﹣ S ↗ 极大值 ↘ 因为 S 在 θ∈ （ 0， ]时有且仅有一个极大值， 因此这个极大值也即 S 的 最大值． ∴ 当 θ= 时， Smax=2﹣ ； 答：（ 1）观光道路 EF 长度的最大值为 2km； （ 2）草坪面积 S 的最大值为 2﹣ km． 【点评】 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题． 18．（ 15 分）（ 2017•如皋市一模）如图，已知 F 为椭圆 + =1 的左焦点，过点 F 且互相垂直的两条直线分别交椭圆于 A、 B 及 C、 D． （ 1）求证： + 为定值； （ 2）若直线 CD 交直线 l： x=﹣ 于点 P，试探究四边形 OAPB 能否为平行四边形，并说明理由． 【考点】 直线与椭圆的位置关系． 【分析 】 （ 1）当直线 AB、 CD 有一平行于 x 轴时， + = ，当直线 AB、CD 都不平行于 x 轴时，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），直线 AB： y=k（ x+1），则直线 CD： y=﹣ （ x+1），将直线直线 AB 与椭圆方程联立 ，。