三角恒等变换专题

三角恒等变换专题内容摘要：

三角恒等变换专题 1三角恒等变换专题复习（一）2012本内容串讲1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下： ; ;其变形：+)(1- 有时应用该公式比较方便。 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下： . 2222要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） 特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 2 这两个形式常用。 ）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 后师生共同总结）二、考点阐述考点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、 的值等于（ ）2、若 ， 则 等于（ ）考点 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式3、值等于（ ）24、 已知 02A，且 3那么 ）考点 3 运用相关公式进行简单的三角恒等变换5、已知 ,41)52)则 )4的值等于（ 23 ）6、已知 3则 值等于（ 759 ）7、函数 22()i()1 C ）（A）周期为 的奇函数 （B）周期为 的偶函数（C）周期为 的奇函数 （D）周期为 的偶函数三、解题方法分析1熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。 解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于 联想，灵活运用。 例 1 设 23,2 则有（ ）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。 例如： 2= 22， 2)co(， 1， si，i,2，+)(1-。 另外，三角函数式 基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)即 )（其中 ）是常用转化手段。 特别是与特殊角有关的 3熟练掌握其变形结论。 2明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换【方法点拨】教材中两角和与差的正、余 弦公式以及二倍角公式的推 导都体现了转化与化归的思想， 应用该思想能有效解决三角函数式化简、求 值、 证明中角、名称、形式的变换问题。 3例 2 已知 43， ）= 132， + ）= 53，求 值 （ 65（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2 =（ ）+（ + ） ）例 2 解答：例 3化简：21+ 3 · 2【解析】：原式= 3【点评】：本题属于“理解” 层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简化简时 要求使三角函数式成为最简 ：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。 （2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的 变换。 因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例 4：已知 + ）= 32， ）= 43，求 2的值。 【解析】42= 21= 17【点评】：本题属于“理解” 层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。 （3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替 换，从而 顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。 例 5：若 ,2求 取值范围。 【解析】：令 221(t即 2132s()t t 23714,2，即 1414【点评】：本题属于“理解” 层次，解题的关键是将要求的式子 作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取 值范围。 3关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体 现 在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的 综合，要适当注意知 识间 的联系与整合。 例 6：已知：向量 (3,1)a ， (函数 ()（1）若 ()0x，求 的值； 12或 7（2）求函数 取得最大值时，向量 a与 的夹角【解析】： () 32） )6x ma)f，当 (2f时，由 |5得 |， 0, ,0【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、堂练习1（ ） A 21 B 23 C 426 D 4262值是（ ） A 23 B 21 C 23 D 13已知 (,0)2x， 4则 ） A 247 B 247 C 74 D 744化简 2 x）·4+x） ，其结果是（）2 3值是 （ ）A0 B 2 C 2 D 2 56 )( 75 为A 3 B 3 C 32 D 327若 ， 4则 角 的 终 边 一 定 落 在 直 线 （ ） 上。 A 40 B 720 C 2470 D 24708 9 15 610 的值是 证：2 12已知 1，求 3已知 ,135)40 )4x的值。 14若 ,0A,且 137, 求 值。 15在 ，若 则 （ ）边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形16化简 218 已知 ， + ）= ， 与 均为锐角，求 13254见题型及解题技巧（手记）7六、今日作业，详见学案（手记）：。