江西省20xx届高三下学期第一次联考数学理科word版含解析

江西省20xx届高三下学期第一次联考数学理科word版含解析内容摘要：

C 的面积是（ ） A． B． C． D． 【考点】 正弦函数的图象． 【分析】 由题意结合正弦函数、余弦函数的图象，求得 A、 B、 C 三点的坐标，即可求得 △ ABC 的面积． 【解 答】 解：函数 f（ x） =sin（ πx+ ）和函数 g（ x） =cos（ πx+ ） 在区间 [﹣ ， ]上的图象交于 A， B， C 三点， 令 sin（ πx+ ） =cos（ πx+ ）， x∈ [﹣ ， ]， 解得 x=﹣ 1， 0， 1， 可得 A（﹣ 1，﹣ ）、 B（ 0， ）、 C（ 1，﹣ ）， 则 △ ABC 的面积为 S= •[ ﹣（﹣ ） ]•[1﹣（﹣ 1） ]= ． 故选： C． 10．等差数列 {an}的前 n 项和为 Sn，若公差 d＞ 0，（ S8﹣ S5）（ S9﹣ S5） ＜ 0，则（ ） A． |a7|＞ |a8| B． |a7|＜ |a8| C． |a7|=|a8| D． |a7|=0 【考点】 等差数列的性质． 【分析】 根据题意，由（ S8﹣ S5）（ S9﹣ S5） ＜ 0 分析可得（ a6+a7+a8）（ a6+a7+a8+a9）＜ 0，结合等差数列的性质可得（ a6+a7+a8）（ a6+a7+a8+a9） ＜ 0⇔a7 （ a7+a8） ＜ 0， 又由 {an}的公差 d＞ 0，分析可得 a7＜ 0， a8＞ 0，且 |a7|＜ |a8|；即可得答案． 【解答】 解：根据题意，等差数列 {an}中，有（ S8﹣ S5）（ S9﹣ S5） ＜ 0， 即（ a6+a7+a8）（ a6+a7+a8+a9） ＜ 0， 又由 {an}为等差数 列，则有（ a6+a7+a8） =3a7，（ a6+a7+a8+a9） =2（ a7+a8）， （ a6+a7+a8）（ a6+a7+a8+a9） ＜ 0⇔a7 （ a7+a8） ＜ 0， a7与（ a7+a8）异号， 又由公差 d＞ 0， 必有 a7＜ 0， a8＞ 0，且 |a7|＜ |a8|； 故选： B． 11．我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道： “夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异． ”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积 相等．其最著名之处是解决了 “牟合方盖 ”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1，求图中四分之一圆柱体 BB1C1﹣ AA1D1和四分之一圆柱体 AA1B1﹣ DD1C1公共部分的体积 V，若图中正方体的棱长为 2，则 V=（ ） （在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2，截得锥体所得面积为 S3， ⇒S2﹣ S1=S3） A． B． C． 8 D． 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】 在高度 h 处的截 面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2，截得锥体所得面积为S3， ， ⇒S2﹣ S1=S3，求出 S3=h2，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可． 【解答】 解：在高度 h 处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截， 记截得两圆柱体公共部分所得面积为 S1，截得正方体所得面积为 S2， 截得锥体所得面积为 S3， 可得 ， ⇒S2﹣ S1=S3， 由 S3=h2，可得 h2dh= h3| = ． 则则 V=8﹣ = ． 故选： A． 12． 设 A、 B 分别为双曲线 C： ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右顶点， P， Q是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 AP、 BQ 的斜率分别为 m、 n，则 + + +ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】 双曲线的简单性质． 【分析】 设 P（ x0， y0），则 Q（ x0，﹣ y0）， y02=b2（ ﹣ 1）． A（﹣ a， 0）， B（ a ， 0 ）， 利 用 斜 率 计 算 公 式 得 到 ： mn= ﹣ ，则+ + +ln|m|+ln|n|= + + +ln =f（ ），令 =t＞ 0，则 f（ t） = +t+ t2﹣ 2lnt．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出． 【解答】 解：设 P（ x0， y0），则 Q（ x0，﹣ y0）， y02=b2（ ﹣ 1）， 即有 = ， 由双曲线的方程可得 A（﹣ a， 0）， B（ a， 0）， 则 m= ， n= ， ∴ mn= =﹣ ， ∴ + + +ln|m|+ln|n|= + + +ln =f（ ）， 令 =t＞ 0，则 f（ t） = +t+ t2﹣ 2lnt． f′（ t） =﹣ +1+t﹣ = ， 可知：当 t= 时，函数 f（ t）取得最小值 f（ ） = + + 2﹣ 2ln =2 +1﹣ ln2． ∴ = ． ∴ e= = = = ． 故选： D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13．二项式 的展开式中第四项的系数为 20 ． 【考点】 二项式系数的性质． 【分析】 根据二项式 展开式的通项公式，求出第四项的系数即可． 【解答】 解：二项式 展开式中， 第四项为 T3+1= • • ， ∴ 展开式中第四项的系数为： • •23=20． 故答案为： 20． 14．如图所示矩形 ABCD 边长 AB=1， AD=4，抛物线顶点为边 AD 的中点 E，且 B， C 两点在抛物线上，则从矩 形内任取一点落在抛物线与边 BC 围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ． 【考点】 模拟方法估计概率． 【分析】 利用定积分求出阴影部分面积，求出矩形面积，即可得出结论． 【解答】 解：以 E 为坐标原点， AD 的垂直平分线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴，建立坐标系，可得抛物线方程为 y2=4x， 取 y=2 ，则阴影部分的面积为 2 = ， ∵ 矩形的面积为 4， ∴ 所求概率为 = ， 故答案为 ． 15．已知向量 ， 满足： | |=| |=1，且 ，若 =x +y ，其中 x＞ 0， y＞ 0 且 x+y=2，则 | |最小值 是 ． 【考点】 平面向量数量积的运算． 【分析】 由平面向量的数量积计算 ，利用基本不等式求出 的最小值，即可得出 | |的最小值． 【解答】 解： ∵ | |=| |=1，且 ， 当 =x +y 时， =x2 +2xy • +y2 =x2+xy+y2 =（ x+y） 2﹣ xy； 又 x＞ 0， y＞ 0 且 x+y=2， ∴ xy≤ =1，当且仅当 x=y=1 时取 “=”， ∴ ≥ （ x+y） 2﹣ =22﹣ 1=3， ∴ | |的最小值是 ． 故答案为： ． 16．已知锐角 △ ABC 中，内角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，且满 足：b2﹣ a2=ac， c=2，则 a 的取值范围是 （ ， 2） ． 【考点】 余弦定理；正弦定理． 【。