吉林省长春市20xx届高考数学三模试卷理含解析

吉林省长春市20xx届高考数学三模试卷理含解析内容摘要：

∴ ， ∴ ， ∴③ 满足； 对于 ④ ， = ， ∴④ 满足； 故选： A． 【点评】 本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生 的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求． 11．已知双曲线 =1（ a＞ 0， b＞ 0）与函数 y= 的图象交于点 P，若函数 y= 的图象在点 P处的切线过双曲线左焦点 F（﹣ 1， 0），则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质． 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】 设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率． 【解答】 解：设 ，函数 y= 的导数为： y′= ， ∴ 切线的斜率为 ， 又 ∵ 在点 P处的切线过双曲线左焦点 F（﹣ 1， 0）， ∴ ，解得 x0=1， ∴P （ 1， 1），可得 ， c2=a2+b2． c=1，解得 a= 因此 ，故双曲线的离心率是 ， 故选 A； 【点评】 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求． 12．若对 ∀ x， y∈ [0， +∞ ），不等式 4ax≤e x+y﹣ 2+ex﹣ y﹣ 2+2恒成立，则实数 a的最大值是（ ） A． B． 1 C． 2 D． 【考点】 函数恒成立问题． 【专题】 函数的性质及应用． 【分析】 利用基本不等式和参数分离可得 a≤ 在 x＞ 0时恒成立，构造函数 g（ x）= ，通过求导判断单调性求得 g（ x）的最小值即可得到 a的最大值． 【解答】 解：当 x=0时，不等式即为 0≤e y﹣ 2+e﹣ y﹣ 2+2，显然成立； 当 x＞ 0时，设 f（ x） =ex+y﹣ 2+ex﹣ y﹣ 2+2， 不等式 4ax≤e x+y﹣ 2+ex﹣ y﹣ 2+2恒成立， 即为不等式 4ax≤f （ x）恒成立． 即有 f（ x） =ex﹣ 2（ ey+e﹣ y） +2≥e x﹣ 2•2 +2=2+2ex﹣ 2（当且仅当 y=0时，取等号）， 由题意可得 4ax≤2+2e x﹣ 2， 即有 a≤ 在 x＞ 0时恒成立， 令 g（ x） = ， g′ （ x） = ， 令 g′ （ x） =0，即有（ x﹣ 1） ex﹣ 2=1， 令 h（ x） =（ x﹣ 1） ex﹣ 2， h′ （ x） =xex﹣ 2， 当 x＞ 0时 h（ x）递增， 由于 h（ 2） =1，即有（ x﹣ 1） ex﹣ 2=1的根为 2， 当 x＞ 2时， g（ x）递增， 0＜ x＜ 2时， g（ x）递减， 即有 x=2时， g（ x）取得最小值，为 ， 则有 a≤ ． 当 x=2， y=0时， a取得最大值 ． 故选： D 【点评】 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键． 二、填空题（本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在答题卡中的横线上） . 13．函数 y= 的单调递增区间是 [0， ] ． 【考点】 两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象． 【专题】 三角函数的图像与性质． 【分析】 化简可得 y=sin（ x+ ），解不等式 2kπ ﹣ ≤x+ ≤2kπ + 可得函数所有的单调递增区间，结合 x∈ [0， ]可得． 【解答】 解：化简可得 y=sinxcos +cosxsin =sin（ x+ ）， 由 2kπ ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ 可得 2kπ ﹣ ≤x≤2kπ+ ， k∈ Z， 当 k=0时，可得函数的一个单调递增区间为 [﹣ ， ]， 由 x∈ [0， ]可得 x∈ [0， ]， 故答案为： [0， ]． 【点评】 本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数的单调性，属基础题． 14．（ x﹣ ） 6的展开式中常数项为 ﹣ ． 【考点】 二项式系数的性质． 【专题】 计算题；二项式定理． 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第 r+1项，令 x的指数为 0得常数项． 【解答】 解：展开式的 通项公式为 Tr+1=（﹣ ） rC6rx6﹣ 2r， 令 6﹣ 2r=0得 r=3， 得常数项为 C63（﹣ ） 3=﹣ ． 故答案为：﹣ ． 【点评】 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 15．已知定义在 R上的偶函数 f（ x）在 [0， +∞ ）单调递增，且 f（ 1） =0，则不等式 f（ x﹣ 2） ≥0 的解集是 {x|x≥3 或 x≤1} ． 【考点】 奇偶性与单调性的综合． 【专题】 函数的性质及应用． 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【解答】 解： ∵ 偶函数 f（ x）在 [0， +∞ ）上为增函数， f（ 1） =0， ∴ 不等式 f（ x﹣ 2） ≥0 等价为 f（ |x﹣ 2|） ≥f （ 1）， 即 |x﹣ 2|≥1 ， 即 x﹣ 2≥1 或 x﹣ 2≤ ﹣ 1， 即 x≥3 或 x≤1 ， 故不等式的解集为 {x|x≥3 或 x≤1} ， 故答案为： {x|x≥3 或 x≤1} ． 【点评】 本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇 偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用． 16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为 a，球的半径为 R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 α 、 β ，则 tan（ α+β ）的值是 ． 【考点】 两角和与差的正切函数；球内接多面体． 【专题】 三角函数的求值；空间位置关系与距离． 【分析】 由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征 可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 α 、 β ，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出 tan（ α+β ）的值． 【解答】 解：由题意画出图象如下图： 由图得，右侧为该球过 SA和球心的截面，由于三角形 ABC为正三角形， 所以 D为 BC中点，且 AD⊥BC ， SD⊥BC ， MD⊥BC ， 故 ∠SDA=α ， ∠MDA=β ． 设 SM∩ 平面 ABC=P，则点 P为三角形 ABC的重心，且点 P在 AD上， SM=2R， AB=a， ∴ ， 因此 = ， 故答案为： ． 【点评】 本题通过对球的内接几何体的特征考查利用两角和的正切函数的进行计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题． 三、解答题（本大题包括 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17．已知 {an}中， a1=1，其前 n项和为 Sn，且满足 an= ． （ Ⅰ ）求证：数列 { }是等差数列； （ Ⅱ ）证明： S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ ． 【考点】 数列的求和；等差关系的确定． 【专题】 点列、递归 数列与数学归纳法． 【分析】 （ Ⅰ ）根据数列的递推关系进行化简结合等差数列的定义即可证明数列 { }是等差数列； （ Ⅱ ）求出 Sn的通项公式，利用放缩法进行证明不等式． 【解答】 解：（ Ⅰ ）当 n≥2 时，。