20xx年辽宁省大连市高考数学一模试卷理科word版含解析

20xx年辽宁省大连市高考数学一模试卷理科word版含解析内容摘要：

． 11．已知向量 ， ， （ m＞ 0， n＞ 0），若 m+n∈ [1， 2]，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【考点】 简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算． 【分析】 根据题意，由向量的坐标运算公式可得 =（ 3m+n， m﹣ 3n），再由向量模的计算公式可得 = ，可以令 t= ，将 m+n∈[1， 2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得 t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离，进而可得 t 的取值范围，又由 = t，分析可得答案． 【解答】 解：根据题意，向量 ， ， =（ 3m+n， m﹣ 3n）， 则 = = ， 令 t= ，则 = t， 而 m+n∈ [1， 2]，即 1≤ m+n≤ 2，在直角坐标系表示如图， t= 表示区域中任意一点与原点（ 0， 0）的距离， 分析可得： ≤ t≤ 2， 又由 = t， 故 ≤ ≤ 2 ； 故选： D． 12．已知定义在 R 上的函数 f（ x） =ex+mx2﹣ m（ m＞ 0），当 x1+x2=1 时，不等式f（ x1） +f（ 0） ＞ f（ x2） +f（ 1）恒成立，则实数 x1的取值范围是（ ） A．（﹣ ∞ ， 0） B． C． D．（ 1， +∞ ） 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】 通过变形 可知问题转化为不等式 f（ x1）﹣ f（ 1﹣ x1） ＞ f（ 1）﹣ f（ 1﹣1）恒成立，设 g（ x） =f（ x）﹣ f（ 1﹣ x）并求导可知 g（ x）在 R 上单调递增，利用单调性即得结论． 【解答】 解： ∵ 不等式 f（ x1） +f（ 0） ＞ f（ x2） +f（ 1）恒成立， ∴ 不等式 f（ x1）﹣ f（ x2） ＞ f（ 1）﹣ f（ 0）恒成立， 又 ∵ x1+x2=1， ∴ 不等式 f（ x1）﹣ f（ 1﹣ x1） ＞ f（ 1）﹣ f（ 1﹣ 1）恒成立， 设 g（ x） =f（ x）﹣ f（ 1﹣ x）， ∵ f（ x） =ex+mx2﹣ m（ m＞ 0）， ∴ g（ x） =ex﹣ e1﹣ x+m（ 2x﹣ 1） ， 则 g′（ x） =ex+e1﹣ x+2m＞ 0， ∴ g（ x）在 R 上单调递增， ∴ 不等式 g（ x1） ＞ g（ 1）恒成立， ∴ x1＞ 1， 故选： D． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票 连号，则共有 48 种不同的分法（用数字作答）． 【考点】 排列、组合的实际应用． 【分析】 甲乙分得的电影票连号，有 4 2=8 种情况，其余 3 人，有 =6 种情况，即可得出结论． 【解答】 解：甲乙分得的电影票连号，有 4 2=8 种情况，其余 3 人，有 =6种情况， ∴ 共有 8 6=48 种不同的分法． 故答案为 48． 14．函数 f（ x） =ex•sinx在点（ 0， f（ 0））处的切线方程是 y=x ． 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】 先求出 f′（ x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】 解： ∵ f（ x） =ex•sinx， f′（ x） =ex（ sinx+cosx）， f′（ 0） =1， f（ 0） =0， ∴ 函数 f（ x）的图象在点 A（ 0， 0）处的切线方程为 y﹣ 0=1 （ x﹣ 0）， 即 y=x． 故答案为： y=x． 15．我国古代数学专著《孙子算法》中有 “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。 ”如果此物数量在 100 至 200 之间，那么这个数 128 ． 【考点】 数列的应用． 【分析】 根据 “三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二 ”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被 5和 7 整除，将这三个数分别乘以被 3 除的余数再相加即可求出答案． 【解答】 解：我们首先需要先求出三个数： 第一个数 能同时被 3 和 5 整除，但除以 7 余 1，即 15； 第二个数能同时被 3 和 7 整除，但除以 5 余 1，即 21； 第三个数能同时被 5 和 7 整除，但除以 3 余 1，即 70； 然后将这三个数分别乘以被 3 除的余数再相加，即： 15 2+21 3+702=233． 最后，再减去 7 最小公倍数的整数倍，可得： 233﹣ 105 2=23．或 105k+23（ k 为正整数）． 由于物数量在 100 至 200 之间，故当 k=1 时， 105+23=128 故答案为： 128 16．过双曲线 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于 A， B 两点，若 ，则双曲线的离心率为 ． 【考点】 双曲线的简单性质． 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A， B 表示出来，再由 ，求出 a， b， c 的关系，然后求双曲线的离心率． 【解答】 解：双曲线 的渐近线方程为 y=177。 x， 设焦点 F（ c， 0），与 y= x 垂直的直线为 y=﹣ （ x﹣ c）， 由 可得 A（ ， ）； 由 可得 B（ ，﹣ ）， 再由 ，可得 0﹣（﹣ ） =2（ ﹣ 0）， 化为 a2=3b2=3（ c2﹣ a2）， 即为 3c2=4a2， 则 e= = ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17．已知点 ， Q（ cosx， sinx）， O 为坐标原点，函数 ． （ 1）求函数 f（ x）的最小。