福建省厦门市20xx届高三数学一模试卷文科word版含解析

福建省厦门市20xx届高三数学一模试卷文科word版含解析内容摘要：

10．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ） A． B． C． 19π D． 22π 【考点】 由三视图求面积、体积． 【分析】 根据四棱锥的三视图知该四棱锥底面为矩形，高为 的四棱锥； 还原出长方体，设该四棱锥的外接球球心为 O，求出外接球的半径， 计算外接球的表面积． 【解答】 解：根据四棱锥的三视图，知该四棱锥底面为矩形，高为 的四棱锥； 且侧面 PAB⊥ 底面 ABCD，如图所示； 还原出长方体是长为 2，宽为 1，高为 ． 设该四棱锥的外接球球心为 O，则 过 O 作 OM⊥ 平面 PAB， M 为 △ PAB 的外心， 作 ON⊥ 平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 对角线的交点； ∴ OM= ， ON= = ； ∴ 外接球的半径满足 R2=ON2+AN2= + = ， ∴ 外接球的表面积为 S=4πR2=4π = ． 故选： A． 11．已知抛物线 C： y2=2px（ p＞ 0）的焦点为 F，准线为 l， A， B 是 C 上两动点，且 ∠ AFB=α（ α 为常数），线段 AB 中点为 M，过点 M 作 l 的垂线，垂足 为 N，若的最小值为 1，则 α=（ ） A． B． C． D． 【考点】 抛物线的简单性质． 【分析】 先画出图象、做出辅助线，设 |AF|=a、 |BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得 |AB|2=a2+b2﹣ 2abcosα，再根据 的最小值为 1，即可得到答案． 【解答】 解：如右图：过 A、 B 分别作准线的垂线 AQ、 BP，垂足分别是 Q、 P， 设 |AF|=a， |BF|=b，连接 AF、 BF， 由抛物线定义，得 |AF|=|AQ|， |BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中， 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得， |AB|2=a2+b2﹣ 2abcosα， ∵ 的最小值为 1， ∴ a2+b2﹣ 2abcosα≥ ， α= 时，不等式恒成立． 故选： C． 12．已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn，直线 y=x﹣ 2 与圆 x2+y2=2an+2 交于 An， Bn（ n∈ N*）两点，且 ．若 a1+2a2+3a3+…+nan＜ λan2+2 对任意 n∈N*恒成立，则实数 λ 的取值范围是（ ） A．（ 0， +∞ ） B． C． [0， +∞ ） D． 【考点】 直线与圆的位置关系． 【分析】 由已知得到关于数列 {an}的递推式，进一步得到 {Sn+2}是以 a1+2 为首项，2 为公比的等比数列．求出数列 {an}的前 n 项和为 Sn，进一步求得数列 {an}的通项，然后利用错位相减法求得 a1+2a2+3a3+…+nan，代入 a1+2a2+3a3+…+nan＜ λan2+2，分离参数 λ，求出 得最大值得答案． 【解答】 解：圆心 O（ 0， 0）到直线 y=x﹣ 2 ，即 x﹣ y﹣ 2 =0 的距离 d= =2， 由 d2+ =r2，且 ， 得 22+Sn=2an+2， ∴ 4+Sn=2（ Sn﹣ Sn﹣ 1） +2， 即 Sn+2=2（ Sn﹣ 1+2）且 n≥ 2； ∴ {Sn+2}是以 a1+2 为首项， 2 为公比的等比数列． 由 22+Sn=2an+2，取 n=1，解得 a1=2， ∴ Sn+2=（ a1+2） •2n﹣ 1，则 Sn=2n+1﹣ 2； ∴ （ n≥ 2）． a1=2 适合上式， ∴ ． 令 Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1•2+2•22+3•23+…+（ n﹣ 1） •2n﹣ 1+n•2n， ∴ ， 两式作差可得： = =（ 1﹣ n） •2n+1﹣ 2， ∴ ， 由 a1+2a2+3a3+…+nan＜ λan2+2 对任意 n∈ N*恒成立， 可得（ n﹣ 1） •2n+1+2＜ λ•22n+2 对任意 n∈ N*恒成立， 即 λ＞ 对任意 n∈ N*恒成立， 当 n=1 时， =0； 由 ，知， n=2 时， =0， ∴ 当 n= 3 时， 最大为 ． ∴ λ＞ ． ∴ λ 的取值范围为： ． 故选： B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．复数 z 满足 z（ 1+i） =2﹣ i（ i 为虚数单位），则 z 的模为 ． 【考点】 复数代数形式的乘除运算． 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】 解： z（ 1+i） =2﹣ i（ i 为虚数单位）， ∴ z（ 1+i）（ 1﹣ i） =（ 2﹣ i）（ 1﹣ i）， ∴ 2z=1﹣ 3i， 则 z= ， ∴ |z|= = ． 故答案为： ． 14．已知 {an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn， a1+a3+a5=15， a2+a4+a6=0，则 Sn 的最大值为 30 ． 【考点】 等差数列的前 n 项和． 【分析】 设等差数列 {an}的公差为 d，根据 a1+a3+a5=15， a2+a4+a6=0，可得 3d=﹣ 15， 3a1+6d=15，解得 d， a1．令 an≥ 0，解得 n，进而得出． 【解答】 解：设等差数列 {an}的公差为 d， ∵ a1+a3+a5=15， a2+a4+a6=0， ∴ 3d=﹣ 15， 3a1+6d=15， 解 得 d=﹣ 5， a1=15． ∴ an=15﹣ 5（ n﹣ 1） =20﹣ 5n， 令 an=20﹣ 5n≥ 0，解得 n≤ 4． 则 Sn 的最大值为 S4=S3=3 15+ =30． 故答案为： 30． 15．直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中， ∠ BAC=90176。 ， BC=2， CC1=1，直线 BC1 与平面 A1ABB1所成角等于 60176。 ，则三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的侧面积为为 __ ___． 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】 由题意， BC1= = ， ∠ A1BC1=60176。 ，求出底面的边长，即可求出三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的侧面 积． 【解答】 解：由题意， BC1= = ， ∠ A1BC1=60176。 ， ∴ A1C1= ， A1B= ， ∴ AB= ， ∴ 三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的侧面积为（ 2+ + ） 1= ， 故答案为 ． 16． ∃ x0∈ （ 2， +∞ ）， k（ x0﹣ 2） ＞ x0（ lnx0+1），则正整数 k 的最小值为 5 ． （参考数据： ln2≈ ， ln3≈ ， ln5≈ ） 【考点】 特称命题． 【分析】 根据题意得出 k＞ ，设 f（ x） = ，其中 x＞ 2；利用导数求出 f（ x）在 x＞ 2 的最小值，即可求出正整数 k 的最小值． 【解 答】 解： ∃ x0∈ （ 2， +∞ ）， ∴ x0﹣ 2＞ 0， ∴ k（ x0﹣ 2） ＞ x0（ lnx0+1）可化为 k＞ ， 设 f（ x） = ，其中 x＞ 2； 则 f′（ x） = = ； 令 f′（ x） =0， 得 x﹣ 4﹣ 2lnx=0， 设 g（ x） =x﹣ 4﹣ 2lnx，其中。