河南省郑州市、平顶山市、濮阳市20xx届高考数学二模试卷理科word版含解析

河南省郑州市、平顶山市、濮阳市20xx届高考数学二模试卷理科word版含解析内容摘要：

2 B． 120 C． 192 D． 240 【考点】 排列、组合的实际应用． 【分析】 由题意，末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为 =120；末尾是 4，不同的偶数个数为 =120，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，末尾是 2 或 6，不同的偶数个数为 =120； 末尾是 4，不同的偶数个数为 =120， 故共有 120+120=240 个， 故选 D． 【点评】 本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．已知 P 为双曲线 ﹣ x2=1 上任一点，过 P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为 A， B，则 |PA|•|PB|的值为（ ） A． 4 B． 5 C． D．与点 P 的位置有关 【考点】 双曲线的简单性质． 【分析】 设 P（ m， n），则 ﹣ n2=1，即 m2﹣ 4n2=4，求出渐近线方程，求得交点 A， B，再求向量 PA， PB 的坐标，由向量的模，计算即可得到． 【解答】 解：设 P（ m， n），则 ﹣ m2=1，即 n2﹣ 4m2=4， 由双曲线 ﹣ x2=1 的渐近线方程为 y=177。 2x， 则由 ，解得交点 A（ ， ）； 由 ，解得交点 B（ ， ）． =（ ， ）， =（ ， ）， 则有|PA|•|PB|= = = ． 故选： C． 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题． 12．已知函数 f（ x） = ，如果当 x＞ 0 时，若函数 f（ x）的图象恒在直线y=kx 的下方，则 k 的取值范围是（ ） A． [ ， ] B． [ ， +∞ ） C． [ ， +∞ ） D． [﹣ ， ] 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】 由于 f（ x）的图象和 y=kx 的图象都过原点，当直线 y=kx 为 y=f（ x）的切线时，切点为（ 0， 0），求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得 k 的范围． 【解答】 解：函数 f（ x）的图象恒在直线 y=kx 的下方， 由于 f（ x）的图象和 y=kx 的图象都过原点， 当直线 y=kx 为 y=f（ x）的切线时，切点为（ 0， 0）， 由 f（ x）的导数 f′（ x） = = ， 可得切线的斜率为 = ， 可得切线的方程为 y= x， 结合图象，可得 k≥ ． 故选： B． 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键 ，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．正方体的 8 个顶点中，有 4 个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 ： 1 ． 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】 作图分析． 【解答】 解：如图：设正方体的棱长为 a， 则正方体的表面积为 S=6a2； 正四面体的边长为 则其表面积为 4 •sin60176。 =2 a2； 则面积比为 6a2： 2 a2= ： 1． 故答案为： ： 1． 【点评】 考查了学生的空间想象力． 14．已知幂函数 y=xa 的图象过点（ 3， 9），则 的展开式中 x 的系数为 112 ． 【考点】 二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】 直接利用幂函数求出 a 的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数． 【解答】 解：幂函数 y=xa 的图象过点（ 3， 9）， ∴ 3a=9， ∴ a=2， ∴ =（ ﹣ ） 8的通项为 Tr+1=（﹣ 1） rC8r28﹣ rx ， 令 r﹣ 8=1， 解得 r=6， 展开式中 x 的系数为（﹣ 1） 6C8628﹣ 6=112， 故答案为： 112． 【点评】 本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力． 15．过点 P（﹣ 1， 0）作直线与抛物线 y2=8x 相交于 A， B 两点，且 2|PA|=|AB|，则点 B 到该抛物线焦点的距离为 5 ． 【考点】 直线与抛物线的位置关系． 【分析】 利用过 P（﹣ 1， 0）作直线与抛物线 y2=8x 相交于 A， B 两点，且2|PA|=|AB|，求出 B 的横坐标，即可求出点 B 到抛物线的焦点的距离． 【解答】 解：设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），设 A， B 在直线 x=﹣ 1 的射影分别为 D， E． ∵ 2|PA|=|AB|， ∴ 3（ x1+1） =x2+1 即 3x1+2=x2， 3y1=y2， ∵ A． B 两点在抛物线 y2=8x 上 ∴ 3 = ， 解得 x1= ， x2=3， ∴ 点 B 到抛物线的焦点的距离为 BF=3+2=5． 故答案为 5 【点评】 本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定 B 的横坐标． 16．等腰 △ ABC 中， AB=AC， BD 为 AC 边上的中线，且 BD=3，则 △ ABC 的面积最大值为 6 ． 【考点】 正弦定理． 【分析】 设 AB=AC=2x，三角形的顶角 θ，则由余弦定理求得 cosθ 的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得 sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元 二次函数的性质求得面积的最大值． 【解答】 解：设 AB=AC=2x， AD=x． 设三角形的顶角 θ，则由余弦定理得 cosθ= = ， ∴ sinθ= = = = ， ∴ 根 据 公 式 三 角 形 面 积 S= absinθ= 2x•2x• = ， ∴ 当 x2=5 时，三角形面积有最大值 6． 故答案为： 6． 【点评】 本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大． 三、解答题（本大题共 5小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（ 12 分）（ 2017•濮阳二模）已知数列 {an}前 n 项和为 Sn， a1=﹣ 2，且满足Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． （ Ⅰ ）求数列 {an}的通项公式； （ Ⅱ ）若 bn=log3（﹣ an+1），求数列 { }前 n 项和为 Tn，求证 Tn＜ ． 【考点】 数列的求和；数列递推式． 【分析】 （ I） Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． n≥ 2 时， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= an+1+n+1﹣ ，化为： an+1=3an﹣ 2，可得： an+1﹣ 1=3（ an﹣ 1），利用等比数列的通 项公式即可得出． （ II） bn=log3（﹣ an+1） =n，可得 = ．再利用 “裂项求和 ”方法与数列的单调性即可证明． 【解答】 （ I）解： ∵ Sn= an+1+n+1（ n∈ N*）． ∴ n=1 时，﹣ 2= a2+2，解得 a2=﹣ 8． n≥ 2 时， an=Sn﹣ Sn﹣ 1= an+1+n+1﹣ ， 化为： an+1=3an﹣ 2，可得： an+1﹣ 1=3（ an﹣ 1）， n=1 时， a2﹣ 1=3（ a1﹣ 1）。