20xx高中数学黄金100题系列——专题10函数的周期性与对称性解析版word版含解析

20xx高中数学黄金100题系列——专题10函数的周期性与对称性解析版word版含解析内容摘要：

xD ，都有 ( ) ( )f x T f x ，则 T 叫做函数 ()fx的周期 . ① 若 ( ) ( )f x a f x ，周期 Ta ； ② 若 ( ) ( )f x a f x   （相反），周期 2Ta ； ③ 若)(1)( xfaxf ( 0a )（互倒），周期 2Ta ； ④ 若 1()()f x a fx  ( 0a )（反倒），周期 2Ta ； ⑤ 若 ( ) ( )f x a f x a  ，周期 2Ta ； ⑥ 若 ( ) ( ) ( )f x f x a f x a   ，周期 6Ta . 考点二 函数的称性 个函数的对称关系： 若函数 ()fx满足 ( ) ( )f a x f a x  ，则 ()y f x 关于直线 xa 对称，若函数 ()fx满足 ( ) ( )f a x f b x  ，则 ()y f x 关于直线 2abx  对称。 ： 函数 )( xafy  与函数 )( xbfy  的图像关于直线 2abx  对称；（巧记：相等求 x ） 函数 )( xafy  与函数 )( xbfy  的图像关于点 )0,2( ab 对称；（巧记：相等求 x ） 考点三 周期与对称的关系： ① 若 )(xf 的图像有两条对称轴 ax 和 bx ( ba )，则 )( xf 为周期函数， ||2 ab为一个周期 .（告知周期 T 和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴 .） ② 若 )(xf 的图像有两个对称中心 )0,(a 和 )0,(b ( ba )，则 )(xf 为周期函数，||2 ab 为一个周期 .（告知周期 T 和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心 .） ③ 若 )(xf 的图像有一条对称轴 ax 和一个对称中心 )0,(b ( ba )，则 )(xf 为周期函数， ||4 ab 为一个周期 . 考点四、 如何计算一般形式的周期和对称 ： 若 )()( bxfaxf  ( ba )，则 | ( ) | | |T a b a b    ；（巧记：消去 x ） 若 )()( xbfxaf  ，则 (xf 的图像关于直线2bax 对称；（巧记：消去 x ，相加除 2） 若 )()( xbfxaf  ，则 )(xf 的图像关于点 )0,2( ba对称；（巧记：消去 x ，相加除 2） 若 cxbfxaf  )()( ，则 (xf 的图像关于点 )2,2( cba对称 .（巧记：消去 x ，相加除 2，除 2） IV．题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题 包 括确定函数 周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性 进行图像变换 ， 都 是高考的热点及重点 .常与函数的图象及其他性质交汇命题 .题型多以选择题、填空题形式出现，函数的 周期 性、 对称 性常与函数的其他性质，如与 单调 性、 奇偶 性相结合求函数值或参数的取值范围 .备考时应加强对这部分内容的训练 . 【技能方法】 解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法。 函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析 式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数 . 【 易错指导 】 （ 1）如果对于函数 ()fx定义域中的任意 x ，满足 ( ) ( )f x a f x b  ，则得函数 ()fx的周期是 || baT  ； （ 2） 如果对于函数 ()fx定义域中的任意 x ，满足 ( ) ( )f x a f x b   ，则得函数()fx的对称轴是 2bax 。 V．举一反三触类旁通 考向 1 周期性与奇偶性相结合 【例 1】 【 2020 年高考四川理数】已知函数 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜ x＜ 1时， ( ) 4xfx ，则 5( ) (1)2ff= . 【答案】 2 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 5()2f  和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为 (0,1) 上的函数值即可． 考向 2 对称性与单调性相结合。