fir数字滤波器设计——基于matlab软件

fir数字滤波器设计——基于matlab软件内容摘要：

NH a nW e W e  (229) 当 N1 时，频率响应的幅度函数。 ()jHanWe 的主瓣宽度为 8π/N,第一旁瓣比主瓣低31dB。 海明 (Hamming)窗，又称改进升余弦窗 图 227 滤波器频率响应 图 228 海明 窗 函数的脉冲响应 窗函数： 2( ) [ 0. 54 0. 46 c os( ) ] ( )1H m Nnw n R nN   (2210) 其频域函数 ： 数字滤波器 结构设计 —— FIR 数字滤波器设计 9 22( ) ( )11R( ) 0 . 5 4 ( ) 0 . 2 3 ( ) 0 . 2 3 ( )jjjj NNH m R RW e W e W e W e    (2211) 其幅度函数： R 22( ) 0. 54 ( ) 0. 23 ( ) 0. 23 ( )11H m R RW W W WNN        (2212) 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约 %，第一旁瓣的峰值比主瓣小 40dB，但主瓣和汉宁窗相同，为 8π /N。 布莱克曼（ Blackman）窗 图 229 滤波器频率响应 图 2210 布莱克曼 窗 函数的脉冲响应 窗函数：Bl24( ) [ 0 .4 2 0 .5 c o s( ) 0 .0 8 c o s( ) ] ( )11 Nnnw n R nNN   (2213) 频率响应： 22( ) ( )11B l R44( ) ( )11R( ) 0 .4 2 ( ) 0 .2 5 { [ ( ) ] [ ] } 0 .0 4 {W [ ] [ ] }jjjj NNRRjjNNRW e W e W e W ee W e   (2214) 幅度响 应： )]14()14([ )]12()12([)()( RNWNWNWNWWWRRRRBl (2215) (4)凯塞 (Kaiser)窗 图 2211 滤波器频率响应 图 2212 凯塞 窗 函数的脉冲响应 数字滤波器 结构设计 —— FIR 数字滤波器设计 10 这是一种适应性较强的窗，是一种最优和最有用的窗。 它是 在给定阻带衰减下给出一种大的主瓣宽度意义上的最优结果，这本身就 是 含着最陡峭的过渡带。 其公式为 ： 2001 [1 2 / ( 1 ) ]() ()I n Nwn I    0≤ n≤ N1 (2 16) 式中， 0I 是第一类变形零阶贝塞尔函数， β 是一个可自由选择的参数。 凯塞窗的优点 ： ① 凯塞窗可提供变化的过渡带宽，通过改变 β 的值可达到最陡的过渡带 ； ② 凯塞窗具有与海明窗相匹敌的特性，通过调整 β 的值，可将凯塞窗完全 等价于海明窗 ； ③ 凯塞窗最大旁瓣值比主瓣约低 80dB，在所有的窗函数中旁瓣抑制度最 大。 β 过渡带宽 同带波纹 /dB 阻带最小衰减 /dB /N 177。 30 /N 177。 40 5,85л /N 177。 50 /N 177。 60 /N 177。 70 /N 177。 80 /N 177。 90 /N 177。 100 表 222 凯塞窗参数对滤波器的性能的影响 用频率抽样法设计 FIR 滤波器 所谓频率抽样法就是从频域出发，根据频域的采样定理，对给定的理想滤波器的频域响应进行等间隔采 样 ： ( 2 ) /( ) ( )jddkNH e H k   k=0,1,2,… .,N1 (2217) 把 ()dHk当作待设计的滤波器频率响应的采样值 H(k)， 通过下式可求出滤波器的系统函数 H(z)和频率响应 ()jHe 1110 ()( ) (1 ) 1NNN kk NHkH z z Wz  (2218) 数字滤波器 结构设计 —— FIR 数字滤波器设计 11 1 20( ) ( ) ( )NjNnH e H k k    (2219) 其中 () 是一个内插函数 ： ( 1 ) / 2212s i n ( )() s i n ( )N jNN e   (2220) 由于频谱的有限 采样值恢复出来的频率响应实际上是对理想频率响应的逼近，因此，这种方法必然有一定的逼近误差。 若被逼近的频率响应比较平滑 ， 则各采样点之间的逼近误差较小 ； 反之，则逼近误差较大。 为了提高逼近的质量，可以采用人为的扩展过渡带的方法，即在频率相应的过渡带内插入一 个或多个比较连续的采样点，使过渡带比较连续，从而通带和阻带之间变化比较缓慢，使得设计得到的滤波器对理想滤波器的逼近误差较小。 利用切比雪夫逼近法设计 FIR 滤波器 Chebyshev 方法是最佳一致逼近法。 该方法在数字信号处理中占有重要的地 位，是设计 FIR 滤波器 理想的方法。 但是，该方法的原理较为复杂。 数字滤波器频域设计的最优方法是 等波纹切比雪夫法，是采用最大误差最小准则得到最优数字滤波器，而且其最优解唯一。 最优设计实际上是调节 FIR 滤波器 Z 域零点的分布，使得实际滤波器的频域响应 ()jeAe 和理想滤波器的频域响应 ()jdHe 之间的最大绝对误差最小。 对于 I 型 FIR 数字滤波器，其频响可表示为 ： 1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s( )Ljd e enA e h h n n   (2221) 其中， ()ehn为滤波器系数， L = M/2, M 为滤波器阶数。 我们将研究对于设计具有广义线形相位的 FIR 滤波器特别有效且广泛使用的算法 ParksMcClellan 算法。 该算 法的基础是将滤波器的设计问题用公式表示成多项式逼近问题。 该算法将滤波器阶数L、带沿频率 p 和 s ，以及通带阻带最大误差比 12/固定，令 1 或 2 为变量，有效而系统的改变 ((L+1)个非限制的脉冲响应值 ()ehn，从而达到 满足设计指标的目的。 (2221)式中的 cos( )n 项可表示为不同幂次之和， ()jeAe 可改写 为 0( ) (c os )LjkekkA e a   (2222) 式 中， ka 是与 ()ehn相关的常数。 我们定义逼近误差函数为 ： ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]jjdeE W H e A e (2223) 其中， ()W 为加权函数，要求 ()E ， ()W 及 ()jdHe 只在 0  区 间 有定义。 数字滤波器 结构设计 —— FIR 数字滤波器设计 12 最大误差最小准则即是在所要求频域上找出使 (2222)式的最大加权逼近误 差达最小的频响 ()jeAe。 即最佳逼近就是在( ):0m in ( | ( ) |)m a xeh n n L F E  意义上所求得的逼近。 这里的 0 闭子集。 使给定阶次的多项式的最大加权误差为最小的充要条件由交替定理给出。 其表达式为 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( 1 )jjjj ij j d eE W H e A e      i=1,2,...,(L+2) (2224) | | (max) | ( ) |FEE  (2225) δ 为最优误差。 (2224)、 (2425)式说明逼近误差 ()iE 至少要有 L+2 交错点，从而使 |E|最小， ()jeAe 唯一。 由 (2222)， (2224)式可以解出系数组 ka 和 δ。 另一种更为有效的方法是多项式内插公式，可求得 21121()( 1)()kL jkdkkLk kb H eW  (2226) 其中 21,1Lki i k kib xx ，也即若 ()jeAe 由满足 (2222)， (2224)式 确定的 ka 并且 δ 由(2226)式给出，则误差函数就会通过 ((L+2)个频率 c 上的士 δ 处。 而为避免 求解复杂方程组 (2222)， (2224)来得出系数， ParksMcClellan 采用 Lagrange 多项式 内插公式，有 2121[ / ( ) ]()[ / ( ) ]Lk k kj ke Lkkkd x x cAed x x (2227) 其中， 1( 1)()()kkjkd kc A e W  ， 121, 1 ( ) ,Lk k k Li i k kid b x xxx    这里令 cosixi。 通过 (2227)式可计算通带和阻带中多处频域的 ()jeAe 和 ()E 值。 若对通带和阻带中的所有 ω ，都有 | ()E | ，则说明已达到最佳逼近。 否则，需计算出新的极值频率。 FIR 滤波器的实现方法 FIR 滤波器的实现结构 FIR 滤波器的传递函数一般有如下形式 ： 数字滤波器 结构设计 —— FIR 数字滤波器设计 13 10( ) ( )N nnH z h n z  (231) 其基本结构有以下几种 ： 直接型，级联型，线性相位型，频率采样型。 (1)直接型 直接型也称卷积型或横截型，称 为卷积型， 是因差分方程是信 号的卷积形式 ； 称为横截型，是因为滤波器是一条输入 x(n)延时链的横向结构。 直接由差分方程可画出对应的网络结构。 其结构图如图 231 所示。 1100( ) ( ) ( ) ( )NNrniy n b x n r h n x n i    (232) 式中， rb 为实数 ； x(n)为输入序列， y(n)为输出序列， h(i)单位采样响应。 )( nx )1(h )0(h )2(h )2N( h )1N( h1z 1z 11 zz 1 图 231 FIR 滤波器的直接型结构 (一 ) )( nx )1(h )0(h)2(h )2N( h )1N( h1z 1z 1z )( ny1z 图 232 FIR 滤波器的直接型 转置 结构 (二 ) 直接 型结构的特点是 ： 优点 ： 简单直观，乘法运算量较少 ； 缺点 ： 调整零点较难。 (2)级联型 (串联型 ) 当需要控制滤波器的传输零点时，可将传递函数分解为二阶实系数因子的形式 /2 12121( ) ( )Nok k kkH z z z     (233) 式中， H(z)为 h(n)的 z 变换 ； ok 、 1k 、 2k。