课程设计---基于双线性变换法的iir数字低通滤波器设计

课程设计---基于双线性变换法的iir数字低通滤波器设计内容摘要：

－  / TS1平面S 平面j o o 图 21双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 jΩ 压缩到 S1 平面 jΩ1 轴上的 π/T 到 π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现 （ 24） 式中 ,T 仍是采样间隔。  2tan2 1TT基于双线性变换法 的 IIR数字 低通滤波器设计 4 当 Ω1 由 π/T 经过 0 变化到 π/T 时， Ω 由 ∞经过 0 变化到 +∞，也即映射了整个 jΩ 轴。 将式（ 24）写成 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 jΩ=s， jΩ1=s1，则得 （ 25） 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z=es1T 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为： （ 26） （ 27） 式（ 26）与式（ 27）是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换 式（ 25）与式（ 26）的双线性变换符合映射变换应 满足的两点要求。 首先 ,把 z=ejω，可得 （ 28） 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆。 其次，将 s=σ+jΩ 代入式（ 28），得 因此 由此看出，当 σ0 时， |z|1；当 σ0 时， |z|1。 也就是说， S 平面的左半平面映射到 Z平面的单位圆内， S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外， S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤 波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 方案二： 脉冲响应不变 法设计 IIR数字滤波器 脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列 h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应 ha(t)，即将 ha(t)进行等间隔采样，使 h(n)正好等于 ha(t)的采样值，满足 h(n)=ha(nT)式中 ,T 是采样周期。 如图 22 所示。 如果令 Ha(s)是 ha(t)的拉普拉斯变换， H(z)为 h(n)的 Z 变换，利用采样序列的 Z 变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系得 TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 1111 11 1122t a n h22 12/2/2/2/11112 zzTssTsTsTsTz 222121  jTjeeTs jj 2ta n2112 jTjTz22222222||  TTz2/2/2/2/11112TjTjTjTj ee eeTj 基于双线性变换法 的 IIR数字 低通滤波器设计 5 (29) 可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的 S 平面变换成数字滤波器的 Z 平面，这个 从s 到 z 的变换 z=esT是从 S 平面变换到 Z 平面的标准变换关系式。 j3  / T / T－ 3 / T－  / To o － 1 1j Im [z ]R e [ z ]Z 平面S 平面 图 22脉冲响应不变法的映射关系 由（ 29）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 (210) 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。 正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 (211) 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即  (212) 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图 23 所示。 这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。 当模 拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。 这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。     kTjsXTjksXTzX k ask aez sT 21)(1)(   T kjHTeH k aj  21)(2|| sT  0)( jHa。