法学]电大开放本科机电控制工程基础总复习指导

法学]电大开放本科机电控制工程基础总复习指导内容摘要：

fLtfLtfL  例 求 tcos 及 tsin 的拉氏变换。 解：根据欧拉公式 tjte tj  sinc o s  tjte tj  sinc o s  则 )(21c os tjtj eet   )(21s in tjtj eejt   又根据拉普拉斯变换的线性性质，有      tjtj eLeLtL   2121c os   )( 1  jseL tj  ，    jseL tj  1 所以  2222 )(2 )()()(2 1)(2 1c os     s ss jsjsjsjstL 同理  2222 )(2 2)( 121)( 121s in   ssj jjsjjsjtL 例 已知 tetf 21)(  ，求 )(tf 的拉氏变换。 解：应用线性性质，则 )2( 2211)]([)(  sssstfLsF （ 2） 微分性质 若   )()( sFtfL  ，则 )0()()( fssFtfdtdL  例 已知 mttf )( ， m 为整数，求 )(tf 的拉氏变换。 《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 13 解：由于 0)0()0()0( )1(  mfff ，且 !)()( mtf m  ，由拉氏变换微分性质得    )()()( tfLstfL mm  ，又因     smmLtfL m !!)()(  故     1)( !)()(  mmm smstfLtfL (3) 积分性质 若   )()( sFtfL  ，则  0)()()(   tsdttfssFdttfL 例 已知  ktdttf sin)( ， k 为实数，求 )(tf 的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的积分性质得     k tdtLtfL sin)( =s1 L ktsin )( 22 kss k (4) 延迟性质 如图 2－ 4－ 1 所示，原函数沿时间轴平移 τ， f (t) f (t) 平移后的函数为 f (tτ )。 该函数满足下述条件 f (tτ ) t0 时， f (t)=0 tτ时 , f (tτ )=0 0 τ t 若 L[f(t)]= F(s)， 则 图 2－ 4－ 1 L[f (t)]=es F(s) ， ）（ 0 例 求函数    tttu ,1 ,0)(的拉氏变换。 解：由延迟性质得：     setLetuL ss    )(1)( (5) 位移性质 若   )()( sFtfL  ，则 )()]([ asFtfeL at  例 求 te at sin 的拉氏变换。 解：因为 22][s in   stL 《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 14 故 22)(]s in[   asteL at 例 求下面各图所示函数的拉氏变换。 f (t) f (t) T2 2a a 0 T 2T 3T t 0 2T T t 图 2－ 4－ 2 图 2－ 4－ 3 解： 图 2－ 4－ 2 可表示成如下时间函数： )3(12)2(1)()(1)( TtaTtTTtTatatf  利用延迟性质， 求得 f (t)的拉氏变换为 TsTsTs esaeTs aeTs asasF 3222 12)(   图 2－ 4－ 3 三角波可表示为 )(4)2(84)(222 TtTTtTtTtf  利用延迟性质，求得 f (t)的拉氏变换为 )21(4484)( 222222222 TssTTsTs eesTesTesTsTsF   (6) 时间尺度性质 若 )()]([ sFtfL  ，则 01)]([  aasFaatfL (7) 初值定理 若 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim ssFs 存在，则 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st   (8) 终值定理 若 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim tft 存在，则 )(lim)(lim)( 0 ssFtff st   例 已知 F(s)= as1 ,求 f(0)和 f ( )。 《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 15 解：由初值定理和终值定理可得 )(lim)0( ssFfs =asss  1lim=1   )(lim)( 0 ssFf s asss  1lim0 =0 例 已知 F(s)= 22 1as ， 求 f(0)和 f ( )。 解：由初值定理得 0lim)0( 22   as sf S 由于 jas  是 )(ssF 的奇点 ，位于虚轴上，不能应用终值定理，既 )(f 不存在。 例 (1) 拉氏变换的数学表达式为（ ）。 ① dtetf st)( ； ② dtetf tj)( ； ③ dtetf st0)( ； ④ dtetf st0)(。 答： ④。 (2) 已知误 差函 数)12( 1)( 2  sss ssE， 则由 终值 定理可 知其 稳定 误差  )(lim tee tss （ ）。 ① 1 ； ② ∞ ； ③ 0。 答： 1)12( 1lim)(lim 20   sss sstee stss，所以选择 ①。 (3) 已知函数 ttetf 52)(  的拉氏变换为（ ）。 ① 2)5( 12  ss； ② sess 5212 ； ③ 2)5( 12  ss； ④ 511 ss。 答：依据线性性质和位移性质选择 ①。 (4) 图所 示函数的拉氏变换为（ ）。 a 0 τ t 图 ① sa ； ② ses 1 ； ③ sesa  ； ④ sesa。 答：因为 )()(  tatx ，依据延迟性质， )(tx 的拉氏变换为 sesa 。 所以选择 ③。 《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 16 (5) 已知541)( 2  sssF，其原函数 )(tf 为（ ）。 ① te t sin2 ； ② tet sin2 ； ③ te t 2sin ； ④ tet cos2。 答：由于1)2( 1541)( 22  ssssF，其原函数为 tetf t sin)( 2 所以选择 ①。 拉氏反变换。 拉氏反变换的定义 部分分式法 例 已知23 3)( 2  ss ssF，求 ?)( tf 解：因 )(21),2)(1(23)( 2 sFsssssssD 是和  的一阶极点，可得 21)( 21  sCsCsF 式中 21)1()2)(1(31 sssssC 12)2()2)(1(32 sssssC 所以 )0(2)( 2   teetf tt。 例 已知)1(10)(  sssF。 （ 1） 用终值定理，求 t 时的 f(t)的值。 （ 2） 通过取 F（ s）的拉氏反变换，求 t 时 f(t)的值。 解：方法 1，由终值定理知： 方法 2，利用部分分式法将 )(sF 改写成 11010)1( 10)(  sssssF 则可知 )(sF 的拉氏反变换为 10)1( 10lim)(lim)(lim 00   sssssFtf sst《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 17 tetf  1010)( 则 1010lim10)(lim   ttt etf 例 已知 2)2( 1)(  ssF。 （ 1）利用初值定理求 )0(f 和 )0(f 的值。 （ 2）通过取 F(s)的拉氏反变换求 )(tf ，并求 )(tf 及 )0(f 和 )0(f。 解：（ 1） 0)2(lim)(lim)(lim)0( 20   s ssFstff sst 因为   )0()()0()0()()()( 220fsFsffssFsdtetftfL st    两边取极限 s→∞ ， 0)0()(lim)(lim 20    fsFsdtetf ssts 所以 1)2(lim)(lim)0( 222   s ssFsf ss （ 2） F(s)的拉氏反变换为 ttetf 2)(  ，则 )21()( 2 tetf t   0)0( 02   ttetf 1)21()0( 02   tt tef 可见，两种方法结果相同。 例求 61)(2  ss ssF的拉氏反变换。 解： 部分分式法： 23)2)(3( 161)( 212    s Cs Css sss ssF 其中 52)3()2)(3( 1 31   ssss sC 53)2()2)(3( 1 22   ssss sC 《机电控制工程基础》书面辅导（ 16） 安庆电大 程曦 18 所以 )21(53)31(52)(  sssF 因此 )(sF 的拉氏反变换为  tt eesLsLssLsFLtf231111535221533152))2(1(53))3(1(52)()( 第 2章 辅导 机械系统 机械旋转系统如图所示。 为一圆柱体被轴承支撑并在黏性介质中转动。 当力矩作用于系统时，产生角位移。 求该系统的微分方程 式。 解 根据牛顿第二定律，系统的诸力矩之和为 22s )()()(TT ( t) dt tdJtTt d  式中： J—— 转动系统的惯性矩； 扭矩 )()(Ts tKt 。