毕业论文基于小波图像去噪的方法研究值得参考46页

毕业论文基于小波图像去噪的方法研究值得参考46页内容摘要：

ss 等人将LP 理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。 1965 年， Calderon 给出了再生公式。 1974 年， Calfmann 对 Hardy 空间 pH 给出了原子分解。 1975 年， Calderon用他早先提出的再生公式给出了 1H 的原子分解，其形式已接近小波展开。 1981 年，Stromberg 对 Haar 系进行了改造，为小波分析奠定了基础。 1984 年， Morlet 在分析 地震波的局部性时，发现传统的 Fourier 变换不具有时 频局部性，很难达到实际需要，因此他首先提出了小波分析的概念，并用于信号分解中。 随后， Grossman对 Morlet 的方法进行了研究。 1985 年， Meyer 创造性地构造出了规范正交基，后被称为 Meyer 基。 1986 年 Meyer 和 Lemarie 提出了多尺度分析的思想。 后来信号分析专家 Mallat 提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方法，并以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法 —— Mallat 算法。 Mallat 算法的提出标志着小波理论获得突 破性进展，从此，小波分析从理论研究走向了应用研究。 通过小波分析，可以将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的块信号，能够有效地解决诸如数值分析、信号分析、图像处理、量子理论、地震勘探、语音识别、计算机视觉、 CT 成像、机械故障诊断等问题。 因此，小波分析在图像去噪方面有着广泛地应用。 小波变换 连续小波变换 [13， 14] （ 1）连续小波基函数 所谓小波 (Wavelet)，即存在于一个较小区域的波。 小波函数的数学定义是：设t 为一 平方可积函数，即   RLt 2 ，若其傅立叶变换 wˆ 满足：     dwC R ww 2 （ ） 时，则称 t 为一个基本小波或小波母函数，并称上式是小波函数的可容许条件。 根据小波函数的定义，小波函数一般在时域具有紧支集或近似紧支集，即函数的非零值定义域具有有限的范围，这即所谓“小”的特点。 另一方面，根据可容许 性条件可知   00 ww，即直流分量为零，因此小波又具有正负交替的波动性。 将小波母函数 t 进行伸缩和平移，设其伸缩因子 (亦称尺度因子 )为 a ，平移因子为 b ，并记平移伸缩后的函数为 tba, ，则 :     0。 ,21,   aRbaat atba  （ ） 并称 tba, 为参数 a 和 b 小波基函数。 由于 a 和 b 均取连续变换的值，因此又称为连续小波基函数，它们是由同一母函数 t 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 定义小波母函数 t 的窗口宽度为 t ，窗口中心为 0t ，则可以求得连续小波基函数 tba, 的窗口中心及窗口宽度分别为： tatbatt aba  ,0, , （ ） 设 wˆ 是 t 的傅立叶变换，频域窗口中心为 0w ，窗口宽度为 w ， t 的傅立叶变换为  wba, ，则有 :    aweaw jwbba  , （ ） 所以此时频域窗口中心及窗口宽度分别为： w abaaba  1,01, , （ ） 由此可见，连续小波的时、频窗口中心和宽度均是尺度因子 a 的函数，均随着a 的变化而伸缩，并且还有 wtwt baba  , （ ） 即连续小波基函数的窗口面积是不变的，这正是 Heisenberg 测不准原理。 将不同 a 、 b 值下的时频窗口绘在同一个图上，就得到小波基函数的相平面（如图 所示）。 图 小波基函数的相平面 （ 2）连续小波变换 将 RL2 空间的任 意函数 tf 在小波基下进行展开，称其为函数 tf 的连续小波变换 CWT，变换式为：      dttffbaWT a btRabaf    1, （ ） 当小波的容许性条件成立时，其逆变换为：          dbbaWTtf a btfadaC  ,21 （ ） 其中     dwCR ww 2为 t 的容许性条件。 另外，在小 波变换过程中必须保持能量成比例，即 :      RR fR ada dxxfCdbbaWT 22,2  （ ） 由 CWT 的定义可知，小波变换和傅立叶变换一样，也是一种积分变换，其中 baWTf , 为小波变换系数。 可见小波变换对函数 tf 在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特性正是通过缩放因子 a 和平移因子 b 来得到的。 根据 a 、 b 的不同，可以得到小波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号 tf 的局部化分析。 连续小波变换具有以下重要性质： ① 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和。 ② 平移不变性：若 tf 的小波变换为  baWTf , ，则  tf 的小波变换为 baTWf ,。 ③ 伸缩共变性：若 tf 的小波变化为  ,aWTf ，则 ctf 的小波变换为   0,1 cccaWT fc 。 ④ 自相似性：对应于不同尺度因子 a 和不同平移因子 b 的连续小波变换之间是自相似性的。 ⑤ 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度〔 redundancy〕，小波 变换的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表现在以下两个方面： 1）由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。 也就是说，信号 tf 的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅立叶变换与傅立叶反变换则是一一对应的。 2）小波变换的核函数即小波基函数 tba, 并不是唯一的，即存在许多可能的选择（如：它们可能是非正交小波，正交小波，双正交小波，甚至允许是彼此线性相关的 )。 小波的选择并不是任意的，也不是唯一的。 它的选择应满足定义域是紧 支撑的，即在一个很小的区间之外，函数值为零，函数具有速降特性，以便获得空间局域化。 另外，它还要满足平均值为零。 也就是说，小波应具有振荡性，而且是一个迅速衰减的函数。 一个一维函数 tf 的连续小波变换是一双变量的函数，变量比 tf 多一个，因此称连续小波变换是超完备的，因为它要求的存储量和它代表的信息量都显著增加了。 对于变量超过一个的函数来说，这个变换的维数也将增加。 若 tf 是一个二维函数， 则它的连续小波变换是：      d x d yttfbbaWT abyabxayxf yx    , 211  （ ） 其中， xb ， yb 表示在两个维度上的平移，二维连续小波逆变换为：      yxabyabxyxfadaC dbdbbbaWTyxf yx    , 01 3  （ ） 同样的方法可以推广到两个或两个以上的变量函数上。 离散小波变换 [15] 计算机中的图像信息是以离散信号形式存放的，所以需要将连续小波变换离散化。 而 最基本的离散化方法就是二进制离散，一般将这种经过离散化的小波及其变 换叫做二进小波和二进变换。 需要注意的是这里的离散化都是针对连续的尺度因子a 和连续平移因子 b 的，而不是针对时间 t 的。 这儿限制尺度因子 a 总是正数。 （ 1）尺度与位移的离散化 对连续小波基函数 tba, 尺度因子 a 和平移因子 b 进行离散化可以得到离散小波变换  baWTf , ，从而减少小波变换系数的冗余度。 在离散化时通常对尺度因子 a和平移因子 b 按幂级数进行离散化，即取 mm bbaa 00 ,  （ m 为整数， ,10a 但一般都假定 10a ），得到离散小波函数为：      0011, 00 000 nbtat maa bnatanm mm    （ ） 其对应系数为：      dtttftfC nmnmnm , ,   （ ） （ 2）二进制小波变换 二进小波变换是一种特殊的离散小波变换，特别地令参数 20a ， 10b ，则有  ntmnm m   22 2, 。 该二进尺度分解的原理在二十世纪三十年代由 Littlewood 和 Paley 在数学上进行了研究证明。 离散小波变换为：      dtttfnmnmWTnmf  ,  （ ） 离散二进小波变换为：      dtttfnmnmWT nmf  ,  （ ） 二维离散小波变换： 我们考虑二维尺度函数是可分离的情况，也就是：      2121, xxxx   （ ） 设  ix 是与  ix 对应的一维小波函数，则有：      21211 , xxxx   （ ）      21212 , xxxx   （ ）      21213 , xxxx   （ ） 以上三式就建立了二维小波变换的基础。 多分辨率分 析与滤波器组 Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨率分析（ MultiResolution Analysis）的概念，从空间概念上形象地说明了小波的多分辨率特性，并将在此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波的快速算法—— Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 小波变换是一种多分辨率分析的有利工具。 多分辨率分析具有如下性质 [16]： (1) 单调性 jj VV 1 ， Zj ； （ ） (2) 逼近性  0  jZj V ， )(2 RLV jZj   ； （ ） (3) 伸缩性 ZjVxfVxf jj   ,)2()( 1； （ ） (4) 平移不变性 ZnVnxfVxf  ,)()( 00 ； （ ） (5) Riesz 基 存在函数 )(x )(2 RL ，使得  Znnx  ),( 构成 0V 的 Riesz 基，即对任一0)( Vxf  ，存在唯一的  Zn , ，使在均方收敛意义下成立 )()( nxcxf Zn n    （ ） 且存在 0, BA ，使 dxxfBcdxxfA RZn nR 222 )()(    （ ） 由以上可以看出，所有的闭子空间  ZjVj , 都是由同一尺度的函数  0V 伸缩后平移系列张成的的尺度空间，称 t 为多分辨率分析的尺度函数。 尺度函数t 的傅里叶变换 wˆ 具有低通滤波的特性，小波函数 x 的傅里叶 变换 wˆ 具有高通滤波特性。 这样利用尺度函数 t 和小波函数 x 构造信号的低通滤波器和高通滤波器。 则可以对信号进行不同尺度下的分解。 多分辨率分析可形象地表示为一组嵌套的多分辨率子空间（如图 所示）。 图 嵌套的多分辨率子空间 假设原信号的频率空间为 0V ，经第一级分解后 0V 被分解成两个子空间：低频的1V 和高频的 1W ；经第二级分解后 1V 被分解成低频的 2V 和高频的 2W。 这种子空间的分解过程可以记为： NNN WVVWVVWVVWVV   1332221110 ,  （ ） 其中符号  表示两个子 空间的“正交和”； fV 代表与分辨率 j2 对应的多分辨率分析子空间；与尺度函数相对应的小波函数的伸缩和平移构成的矢量空间 jW 是。