毕业论文设计基于matlab的双足步行机器人腿部运动模型的建立与运动仿真

毕业论文设计基于matlab的双足步行机器人腿部运动模型的建立与运动仿真内容摘要：

业学院毕业设计 10 而这两种表示方式 之间的关系可有式 3式 35 和式 36 联立得出： Ph =Pa +Ra 39。 Ph 式 37 式 37 用矩阵的方式表示出来为： 1Ph=1000 PaRa139。 Ph 式 38 从公式可以得出，为了使矩阵运算准确，在转动矩阵和位置矢量组成矩阵后须添加 0 和 1，凑成为 4 4 矩阵完成计算。 于是我们定义这样的 4 4矩阵： Ta= 1000 PaRa 式 39 这个矩阵 Ta 称为齐次变换矩 阵，矩阵中是旋转矩阵和位置矢量有规律的添加0 和 1 构成的。 于是局部坐标系描述变换到世界坐标系描述就可以表示为： 1P=Ta139。 P 式 310 齐次变换的链乘法则 为了建立左腿髋关节处与膝关节处两个局部自由度之间的关系，我们现在假想的将世界坐标系移动到左腿髋关节处，这样膝关节坐标系就被称为髋关节坐标系的局部坐标系，这样坐标系分别分配 为： a 和 b 坐标系 b 中观察脚踝的位置 39。 Ph 到坐标系 a 中观察脚踝的位置 39。 Ph 的矩阵变换与 节中的变换相似，可以表示为： 139。 Ph =Tb’139。 39。 Ph 式 311 这时的齐次变换矩阵 Tb’定义如下： Tb’ =1000 39。 PhRa 式 312 其中 39。 Pb 是在局部坐标系 a 中描述局部坐标系 b 的原点位置。 进而将式 311 代入式 38 中可以得到： 1Ph=TaTb’ 139。 Ph 式 313 式 313 表示了，从膝关节的局部坐标系中描述脚踝位置到从世界坐标系太原工业学院毕业设计 11 中描述脚踝位置的变换。 其中可以公式中右侧的两个齐次变换矩阵的乘积构成了一个新的齐次变换矩阵。 Tb=TaTb’ 式 314 对于以上分析，我们可以做迭代处理而得出更加有用的结论。 假设有一个机械链条把 1 到 N 局部坐标系连接起来，而且定义相邻两个坐标系之间i 和  1i 的齐次变换矩阵为 Ti+1，那么迭代以上讨论就可以得出： Tn=T1T2T3…Tn 式 315 公式中 Tn 为世界坐标系中表示第 N 个关节的位姿的齐次变换矩阵。 如果需要追加关节只需将对应的齐次变换矩阵右乘到之前的矩阵之上即可。 所以将 齐次矩阵依次右乘进行坐标变换的计算规则称为链乘法则。 转动特性 侧摆、俯仰和转动 空间坐标系中，转动特性是通过绕坐标轴的旋转运动实现的，本说明书中使用的用 RPY 组合变换表示运动姿态。 RPY 组合是一种常用的旋转集合，它包含了侧摆（ roll）、俯仰（ pitch）和转动（ yaw）。 具体规定绕 x 轴旋转称为侧摆；绕 y 轴旋转称为俯仰；绕 z 轴旋转称为转动。 如图所示分别展示了侧摆、俯仰和转动的情况。 图 33 侧摆、俯仰和转动情况 下表 中定义了 RPY 组合对应的转动轴、名称和转动角的代表符号。 对应的侧摆、俯仰和转动的旋转矩阵依次为： 太原工业学院毕业设计 12 表 31RPY 组合说明 Rx（  ） =cossin0sincos0001 Ry（ ) = cos0sin010sin0cos Rz( )= 1000cossin0sincos 机械链的运动姿态往往由一个绕轴的旋转序列来规定。 在任何旋转序列系，旋转次序都是尤为重要的。 用公式作如下规定： Rrpy(  , )=Rz（ ) Ry( )Rz( ) = 1000cossin0sincos  cos0sin010sin0cos cossin0sincos001 =CCSCSCSSSCSSSCCCSCSCSSSSCCSCC 其中 C =cos ， S =sin ，其余类似。 旋转矩阵的说明 旋转矩阵在应用中存在两种含义。 一种含义是在一个已知的坐标系中对其中矢量的转动作描述，研究对象是矢量。 当然这个矢量的转动是有限制的，将这个矢量看作是一个射线的话，这个射线的端点与它运动所在的坐标系原点重合，而射 线方向的改变就可以用旋转矩阵来描述。 太原工业学院毕业设计 13 图 34 矢量转动描述 另一种含义是表示局部坐标系的姿态改变的描述。 在坐标系中定义一个固定点，在坐标系姿态转换后重新在新的坐标系中描述这个定点时用到旋转矩阵，这时研究对象是一个固定点。 当然坐标系姿态的转动也是有限的，就是规定姿态变换前后两个坐标系的原点是重合的。 通俗的说就是换一个视角去观察同一个物体。 图 34 对坐标轴转动描述 这两种描述方式看似相近，但其实有很多区别点： 研究的对象不同，第一种含义研究的是 矢量，第二种含义研究的是固定点。 研究对象的运动状态不同，第一种含义中的矢量是运动的，第二种含义中的 点是固定的。 研究中坐标系的个数不同，第一种含义中在同一个坐标系中研究，第二种含 义中产生了新的坐标系。 旋转矩阵的性质 下面来讨论旋转矩阵的一个重要性质：旋转矩阵是正交矩阵。 假设讨论一个描述局部坐标系姿态的旋转矩阵，在这个 3 3 矩阵中，是由单位 矢量 ex， ey， ez 构成的。 这三个矢量是两两相互垂直的，故他们正交： Eiej=ji ji 01 式 317 用矩阵的形式重新表示时： 太原工业学院毕业设计 14 R’ R=39。 39。 39。 ezeyex  ezeyex =ezezeyezexezezeyeyeyexeyezexeyexexex39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 39。 =100010001 =E 所以经过以上推算，旋转矩阵的逆矩阵等于其转置。 从而证明了旋转矩阵是正交 矩阵。 角速度矢量 在三维空间中表示转动速度时，可以表示成为绕某个轴 线的转动。 如图 ，是 绕坐标轴 z 轴做的转动。 图 35 绕 z轴转动三维物体 以上也用矢量的形式表示： w =100 式 320 这样就定义了角速度矢量，其中每个元素的单位都是 rad/s。 之后在研究机器人运动时，其运动关节处的驱动形式就是以电机转速表示的，故研究转速作为机器人基础量就尤为重要。 由式 320 可以发现，当转 动轴线定为坐标轴时，就可以将角速度矢量做归一化处理，将速度矢量分解为一个单位速度矢量和转速标量的乘积。 w =a q（ a 表示绕坐标轴旋转的单位角速度矢量） 式 321 为了研究某点的速度，如关节给定角速度的情况下肢体某处的运动速度，就需要进一步研究角速度与速度的关系。 在转动的肢体上选择一个研究点，并用矢量的方式表示该点，如图 ，而这一点的速度就可以 用角速度矢量与该点矢量的叉积来表示。 太原工业学院毕业设计 15 图 36 速度的表示 v =w p 其速度方向由叉积中的右手定则来规定，即弯曲右手四指，四指由 w 沿着小于 180 176。 的方向转，这时拇指指向的方向就是速度的方向。 并且角速度矢量本身也能够转动，在式 321 两边同时左乘旋转矩阵 R 得： Rw =Ra q w =Rw ,a =Ra ， 39。 w =39。 a q 式 323 由以上推导可以得出，角速度矢量的旋转可以直接用旋转矩阵进行 变换。 当角速度矢量、位置矢量和速度矢量在旋转矩阵的作用下转动时有： 39。 w =Rw ， 39。 p =R 39。 p ， 39。 v =Rv 由叉积定义可知，转动前后的关系为： v =w p 39。 v =39。 w 39。 p 所以满足： R（ w p ） =（ Rw ）（ Rp ） 式 324 旋转矩阵的微分与角速度矢量 物体上的 一点旋转后局部坐标系与世界坐标系之间的关系为： p =Rp 式 325 上式对时间微分可得该点在世界坐标系中的速度，但由于局部坐标系中的点相对 局部坐标系没有运动，所以不存在微分关系，故： 39。 p = 39。 Rp 式 326 将 223 两边左乘 :p =Rtp 式 327 将 325 代入 324 得： 39。 p =R’R p 式 328 上公式描述了用局部坐标系中的点的位置来表示世界坐标系中该点的速度的 计算过程。 联系世界坐标系中某点速度的计算，式 322，本节中 某点相对时间的微分表示的含义就是这一点的速度，即 39。 p =v ，故： 39。 p =w p 式 329 应用叉积计算公式可得： w p =000WzWyWxWzWyWz PzPyPx 式 330 太原工业学院毕业设计 16 用矩阵相乘形式重新编写速度矢量可得： w p =000WzWyWxWzWyWz PzPyPx =Sp 式 331 所得的新矩阵 S，也有很多良好的性质。 所以为了表示方便现在需要定义一种新的计算。 这个新的矩阵 S，通过观察可以发现它在转置后只是改变了符号： St=S 在数学上这样的矩阵被称为反对称矩阵。 下面来为了计算方便来定义一种运算，由三维矢量导出对应的反对称矩阵要操作符“∧”表示，由反对称矩阵导出对应的三维矢量用操作符“∨”表示。 如下： w ^=WzWyWx ^=000WxWyWxWzWyWz 000WxWyWxWzWyWz ==WzWyWx =w 式 332 于是角速度矢量在计算时就可以使用以下表示方式： w p =w ^p 式 333 为了。