基于遗传算法的直线一级倒立摆的pid控制策略研究

基于遗传算法的直线一级倒立摆的pid控制策略研究内容摘要：

中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图 22,图 23 所示，图示方向为矢量正方向。 其中 N和 P为小车与杆相互作用的水平和垂直方向的分量，在实际的倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，即小车向电机方向运行和摆杆的顺时针方向旋转为正方向。 图 22 小车隔离受力分析 图 23 摆隔离受力分析 在忽略空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，分析小车水平 方向所受的合力，可以得到以下方程： NxbFxM   （ 21）对摆杆水平方向受力分析得到以下等式： )s in(dtd 22 lxmN  （ 22） 即  s inc o s  mlmlxmN  （ 23） 将式（ 23）代入式（ 21）可得系统第一个运动方程： FmlmlxbxmM   s i nc o s)( 2 （ 24） 为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程： )c os(22 ldtdmmgP  （ 25） 即  c o ss i n 2 mlmlmgP  （ 2 6） 力矩平衡方程如下：  INlPl  c o ss in （ 27） 式中：   ，  coscos  ，  sinsin  合并式 （ 26） 、式 （ 27） 得第二个运动方程： 10  c o ss i n)( 2 xmlm g lmlI   （ 28） 设 （  是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设  与 1（单位是弧度） 相比很小，即  1，则可以进行近似处理： 1cos  ，  sin ， 0)( 2 dtd， 用 u 来代表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下 ： xmlmglmlI   )( 2 （ 29） umlxbxmM  )( （ 210） 对式 (210)进行拉普拉斯变换 ： 222 )()()()( ssm l Xsm g lssmlI  （ 211） )()()()()( 22 sUssmlssbXssXmM  （ 212） 整理后得到传递函数： sqb mg lsq mg lmIbsq mlIbssqmlsUs23)242)(()()( （ 213） 其中 ： ])())([( 22 mlmlImMq  状态空间方程 设系统状态空间方程为： BuAXX  ， Y=CX+Du 方 程组对 x , 解代 数方程，得到解如下： xx  （ 214） uMm lmMI mlIMm lmMI glmxMm lmMI bmlIx 2222222 )()()( )(     （ 215）   （ 216） uMm lmMI mlMm lmMI mMm glxMm lmMI m l b 222 )()( )()(      （ 217） 整理后得到系统状态空间方程： uM m lmMImlM m lmMImlIxxM m lmMImMm g lM m lmMIm l bM m lmMIglmM m lmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010 （ 218） 11 0001000001xxxy （ 219） 由 (211)方程得 ： （ 220） 对于质量均匀分布的摆杆有： 231mlI （ 221） 于是可以得到： xmlm glmlml   )31( 22 （ 222） 化简得到： xllg  4343   (223） 设   xuxxX   ,  则有 ： ulxxlgxx4301004300100000000010 （ 224） uxxxy 0001000001 （ 225） 直线一级倒立摆系统的定性分析 摆杆角度和小车位移的传递函数： 26 0212 02 )( )( 2 2 s ssX s （ 226） 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 26 0212 02 )( )( 2  ssV s （ 227） 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数 : )( )( 23  sss ssU s （ 228） xmlm g lmlI   )( 2 12 以外界作用力作为输入的系统状态方程 : uxxxx0010000010 （ 229） 0001000001xxxy （ 230） 以小车加速度作为输入的系统状态方程 : uxxxx3010100000000010 （ 231） 0001000001xxxy （ 232） 在得到系统的数学模型之后，为了进一步的了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是系统的稳定性、能控性以及能观性。 对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据前面得到的系统线性模型分析。 一般摆杆竖直向上位置是系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统，因而可以采用平衡点附近位置近似的线性模型来分析。 在进行倒立摆的定性分析之前，先介绍线 性控制理论中几个关于能控性、能观性的判定定理 [3] [4] [5]。 定理 1 (可控性判据 )线性定常连续系统 BuAXX  完全可控的充分必要条件是： rank[B AB „ An1B]=n 其中， n 为矩阵 A的维数， S=[ B AB „ An1B]称为系统的可控性判别阵。 定理 2（可观测性判据）线性定常连续系统 Axx ， 0)0( xx  ,t≥ 0, Cxy 完全可观测性的充分必要条件是： nCACACrankn1 这样的矩阵称为系统的可观测性判别阵。 13 定理 3（ 稳定性判据 ） Lyapunov 第一法则判定定理：对于线性定常系统  0, 0 , 0x Ax x x t  有： （ 1） 系统的每一平衡状态是在 Lyapunov 意义下稳定的充分必要条件是： A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式的单根。 （ 2）系统的唯一平衡状态 0ex 是渐进稳定的充分必要条件是： A的所有特 征值具有负实部。 倒立摆系统的状态方程为：           x t A x t B u ty t C x t D u t 其中， 100000000010A 3010B  0100 0001C 00D 对一级倒立摆系统线性状态方程，根据定理 1和定理 2得到： rank[B AB A2 B A3B]=4 rank[C CA CA2 CA3]T=4 所以一级倒立摆系统是能控的和能观测的。 将 A 的值带入特征方程 det 0IA ，经过计算可以得到系统的特征值：1, 2 3 , 40 ,   ，系统有两重特征根在原点，有一个特征根在复频域的右半平面上，有一个特征根在复频域的左半平面上，由定理 3 可知：直线一级倒立摆系统是不稳定的。 由以上分析，我们可以知道，直线一级倒立摆系统是不稳定的，但其又是能控和能观的。