基于排队论的超市收银管理排队服务系统应用的研究

基于排队论的超市收银管理排队服务系统应用的研究内容摘要：

( 0) 为常数，那么认为 X 服从参数 l 的负指数分布，概率分布函数可表示为236。 1 e lt , t 179。 0238。 0, t 03. 超指数分布定义 若 X 的概率分布密度函数为236。 k l tf (t ) = 237。 i =1 i i239。 0, t 0ki =1X 服从超指数分布。 分布函数为ki =14. 泊松分布k ki=1 li i=1 li232。 i=1 li 248。 2定义 若离散随机变量 X 的概率分布为e , i = 0,1,2,Li!其中 l ( 0) 为常数，则称 X 服从参数 l 的泊松分布， EX = l ， DX = l ．4F (t ) = P{X 163。 t} = 237。 af (t) = 237。 F (t) = 237。 239。 229。 a l e i , t 179。 0X 为连续型随机变量，其中 a i 0, 229。 a i = 1, li ( 0)均为常数 i = (1, 2,L, k ) ，则称F (t ) = 1 229。 a i e lit , t 179。 0238。 期望平均值 EX = 229。 i ，方差 DX = 2229。 2i230。 k a 246。 231。 229。 i 247。 ．pi = P{X = i} =哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 两种随机过程 生灭过程定义 一系统，假定状态集 E = {0,1, 2,L, K} 在系统中存在，令 N (t ) 表示系统在时刻 t 所处的状态，且有Pi, j +1 (Dt) = P{N (t + Dt) = i + 1 N (t) = i} = li Dt + o(Dt), i = 0,1,2,L, K 1Pi, j1 (Dt)= P{N (t+Dt)= i 1 N (t)= i}=miDt+ o(Dt), i= 0,1,2,L, KPi, j (Dt) = P{N (t + Dt) = i N (t) = i} = o(Dt), i j 179。 2其 中 li 0 ， i = 0,1,L, K 1 ，mi 0 ， i = 0,1,L, K 均 为 常 数 ， 则 称 随 机 过 程{ N (t ), t 179。 0 }为有限状态 E = {0,1, 2,L, K} 上的生灭过程。 若随机过程是无限状态生灭过程，需满足可列无限状态 E = {0,1, 2,L}为系统状态。 令p j (t ) = P{N (t ) = j}, j 206。 E得（1）当 E = {0,1, 2,L ,K} 时，有236。 p0162。 (t) = l0 p0 (t) + m1 p1 (t)239。 239。 pk (t) = lk 1 pk 1 (t) m k pk (t)（2）当 E = {0,1, 2,L}时，有236。 p0162。 (t) = l0 p0 (t) + m1 p1 (t)238。 p j (t) = l j 1 p j 1 (t) (l j + m j ) p j (t) + m j +1 p j +1 (t), j = 1,2,L（21）（22）是生灭过程的微分差分方程。 t 174。 165。 （1）对有限状态 E = {0,1, 2,L, K} 的生灭过程，{ p j , j = 0,1,L, K} 存在，与初Kj =0（2）对无限状态 E = {0,1, 2,L}的生灭过程，若有条件165。 230。 l0l1Ll j 1 246。 231。 247。 及1l0165。 j =1 232。 1 2 j 248。 15237。 p162。 j (t) = l j 1 p j 1 (t) (l j + m j ) p j (t) + m j +1 p j +1 (t), j = 1,2,L, K 1237。 162。 238。 162。 定理 （极限定理） 令 p j = lim p j (t ), j 206。 E始条件无关，且 p j 0, 229。 p j =1，即 { p j , j = 0,1,L ,K} 为平稳分布。 1 + 229。 231。 247。 165。 （收敛）j =1 232。 m1m 2Lm j 248。 230。 l0 l1Ll j 1 246。 247。 1 = 165。 （发散）+ 229。 231。 231。 m mL m 247。 l j哈尔滨工业大学理学硕士学位论文165。 j =0{ p j , j = 0 ,L}为平稳分布。 定理 t 174。 165。 t 174。 165。 泊松过程定义 输入过程是单个到达的。 在时间 ( 0, t]内到达的顾客数用 N (t ) 表示，如果满足（1） N (0) = 0 ；（ 2）对任取的 n 个时刻： 0 t1 t 2 L t n ，随机变量 N (t1) N (0),N (t2 ) N (t1), L, N (tn ) N (tn1) 是相互独立的，即 {N (t), t 179。 0}有独立增量；（3） {N (t), t 179。 0}具有平稳增量。 对任意 t 179。 0 和 s 179。 0 ，有P{N (t + s) N (t ) = k} = (ls)k e ls , k = 0,1,2,Lk!其中 l ( 0) 为常数，则表示 {N (t), t 179。 0}是连续时间参数的随机过程（计数过程），称 {N (t), t 179。 0}是泊松过程。 定理 {N (t), t 179。 0}是参数 l ( 0) 的 Possion 流的充要条件是：{t n , n 179。 1}独立、服从同参数 l 的负指数分布。 {t n , n 179。 1}为到达的间隔时间序列。 定理 设 {N1 (t), t 179。 0}与 {N 2 (t), t 179。 0}分别是参数 l1 与 l2 的 Possion 流，且它们独立，则合成流 {N1 (t) + N 2 (t), t 179。 0}是参数 l1 + l2 的 Possion 流。 定理 {N (t), t 179。 0}是参数 l ( 0) 的 Possion 流， ( 0, t]内到达且进入系统~~ 统计检验 极大似然法定义 若 f ( x,q ),q 206。 Q 为 X 的概率密度函数，总体 X 的一组样本设为X 1 , X 2 ,L X n ， x1 , x2 ,L xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L X n 的一个样本值，则称ni =1为样本的似然函数（其中 q 为待估参数， Q 是 q 的可能的取值范围）。 定义 若存在 qˆ(x1 , x2 ,L xn ) 使得6成 立 ， 则 { p j , j = 0 , 1L,} 存 在 ， 与 初 始 条 件 无 关 ， 且 p j 0, 229。 p j =1 ， 即1 ,在 p j = lim p j (t ) 存在的条件下， j 206。 E ，有 lim p162。 j (t ) = 0, j 206。 E ．的 顾 客 数 用 N (t ) 表 示 ， 每 一 到 达 顾 客 进 入 系 统 的 概 率 为 p(0 p 1) ， 则{N (t ), t 179。 0}是参数为 lp 的 Possion 流。 L(q ) =ˆ L( x1 , x2 ,L xn。 q ) = 213。 f ( xk ,q )哈尔滨工业大学理学硕士学位论文q206。 Q则称 qˆ(x1 , x2 ,L xn ) 为 q 的最大似然估计值，称 qˆ( X 1 , X 2 ,L X n ) 为 q 的最大似然估计量[31]。 c 2 拟合检验假设H 0 ：总体 X 的分布函数为 F ( x)H1 ：总体 X 的分布函数不是 F ( x)以上假设是有关总体分布的，由样本 X 1 , X 2 ,L X n 检验的一种方法。 此方法应用在总体分布未知时。 X 的分布函数 F ( x) ，假设其在 H 0 中不含未知参数。 在 H 0 下， k 个两两不相交子集 A , A2 ,L Ak ，是由 X 可取值的全体 W 分成的。 样本观测值 x1, x2 ,L xk 落在 Ai 的个数记作 fi (i = 1, 2,Lk ) ，它表示事件 Ai 在 n 次试验中发生的频率 fi / n ．当H 0 为真时，计算 A 的概率使用 H 0 所假设的 F ( x) ，得到 pi = P( A ), i = 1, 2,Lk ，概率 pi 和频数 fi / n 有差异。 当试验次数很多时，若 H 0 始终为真，则差异不应过2232。 n 248。 kn2（其中 hi (i = 1, 2,L, k ) ，是给定的），去度量样本和 H 0 中所假设的 F ( x) 的吻合程2i =1 232。 n 248。 质，如定理 所述。 于是，我们采用2ki =1pi 232。 n 248。 i =1 npi2 n（23）作为检验统计量。 反之， X 的分布函数 F ( x) 含参未知，需求其最大似然估计（在 H 0 下，利用样本求解）。 参数值以估计值替代，求 pi 的估计值 pi = P( A ) ，在式（23）中用 pˆ i 代替 pi ，取ki =1fi 2npˆ i n（24）作为检验统计量[32]。 定理 若 n 足够大 ( n 179。 50) ，则当 H 0 为真时， 23）近似服从 c 2 (k 1) 分布；（24）近似服从 c 2 (k r 1) 分布， r 为被估参数个数。 7L( x1 , x2 ,L xn。 qˆ) = max L( x1 , x2 ,L xn。 q )230。 f246。 大，故 231。 i pi 247。 不应太大。 我们用统计量1i i230。 fi 246。 229。 =i 1 hi 231。 232。 248。 ip 247。 230。 fi246。 k度。 当选取 hi = n / pi (i = 1, 2,L, k ) 时，由 229。 hi 231。 pi 247。 定义的统计量具有重要性n 230。 fi246。 fi 2k231。 pi 247。 = 229。 ˆ ˆ i（哈尔滨工业大学理学硕士学位论文基于上述定理得到 c 2 拟合检验法，应用此法，特别要注意保证 n 足够大，npi或 npˆ i 不能过小。 经验告诉我们，每一个 npi 或 npˆ i 不能小于 5，样本容量 n 应不小于 50，达不到此要求应适当合并 Ai ，以满足需要。 M / M / c / 165。 系统的基础理论c(c 179。 1) 个独立服务台并联存在于系统中。 有空闲服务台，顾客到达可立即接受服务；没有，就等待，直到有时再被服务。 系统容量为无穷大，到达、服务都是彼此独立的；设参数为 l ( 0) 的 Poisson 流是顾客到达时所遵从的；同一参数 m ( 0)的负指数分布是每位顾客所需服务时间所服从的，服务时间相互独立。 此服务系统内，令 r =l lm cm，有如下数量指标。 （1）平稳分布令 p j = lim P{N (t) = j}, j = 0,1,L，则当 pc 1，有 { p j , j 179。 0} 存在，与初始条件无关，且236。 1 jp j = 237。 1239。 238。 c j c c!其中，j =0 j !+ 1（2）平均队长与平均等待队长用 N 和 N 分别代表系统的队长与平均队长， N q 和 N q 代表等待队长和平均等待队长， Nc 和 N c 分别代表系统平衡时刻正在接受服务的顾客数量和被服务的平均顾客数，则有其中， pc =r cc!p0 ；= EN165。 j =crc(1 rc )2 pcc1 165。 = ENj =0 j =c与服务台的个数 c 无关。 由于 N = N q + N c ，所以N = N q + N c = r +rc(1 rc )2pc , rc 1。