20xx北师大版选修2-1高中数学342-343圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交

20xx北师大版选修2-1高中数学342-343圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交内容摘要：

=𝑎2( 3 𝑐2 𝑏2)𝑏2+ 3 𝑎2. 从而 |x1 x2|= ( 𝑥1+ 𝑥2)2 4 𝑥1𝑥2= 6 𝑎2c𝑏2+ 3 𝑎2 24 𝑎2( 3 𝑐2 𝑏2)𝑏2+ 3 𝑎2=4 𝑎 𝑏2𝑏2+ 3 𝑎2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 则由弦长公式 ,得 | MN | =4 𝑎 𝑏2𝑏2+ 3 𝑎2 1 + 3 =4 𝑎5. 化简 ,得 a2= 3 b2.② 联立 ①② ,得 a2= 6 , b2= 2 . 故椭圆 C 的方程为𝑥26+𝑦22= 1 . 反思 解决直线与圆锥曲线的交点弦问题常用根与系数的关系及弦长公式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 6 】 已知斜率为 2 的直线被双曲线𝑥23−𝑦22= 1 所截得的弦长为 4 , 求直线 l 的方程 . 思路分析 :设出直线方程 ,列方程组 ,利用弦长公式求解 . 解 :设直线 l 方程 y= 2 x+ b , 设 l 与双曲线𝑥23−𝑦22= 1 的交点为 A ( x1, y1), B ( x2, y2) . 由 𝑥23𝑦22= 1 ,𝑦 = 2 𝑥 + 𝑏 , 化简得 10 x2+ 12 b x+ 3 ( b2+ 2 ) = 0 , 则 x1+x2= 6 𝑏5, x1x2=3 ( 𝑏2+ 2 )10. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 由 | A B | = 4 得 ( 𝑥1 𝑥2)2+ ( 𝑦1 𝑦2)2= 4 , 化简整理得 5 [( x1+x2)2 4 x1x2] = 16 , ∴ 5 6 𝑏5 2 4 3 ( 𝑏2+ 2 )10 = 16 , 解得 b2=703, ∴ b = 177。 2103. ∴ 所求直线 l 的方程为 y= 2 x177。 2103. 点评 涉及直线与圆锥曲线弦的有关问题时 ,常将直线与圆锥曲线方程联立 ,消元后借助根与系数的关系来解决问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 中点弦问题 1 .关于弦中点问题常有两种方法 : ( 1 ) 根与系数的关系法 若直线 l : y= kx+ b 与曲线 F ( x , y ) 相交于 A ( x1, y1), B ( x2, y2), 联立两方程得一个关于 x ( 或 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x+ C = 0 ( A ≠ 0 ), 设 M ( x0, y0) 是弦 AB 的中点 ,则 𝑥0=𝑥1+ 𝑥22= 𝐵2 𝐴,𝑦0= k 𝑥0+ b = 𝑘 𝐵2 𝐴+ b . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 点差法 ① AB 是椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2= 1 ( a b 0 ) 的一条弦 ,中点 M 坐标为 ( x0, y0) .运用点差法求 AB 的斜率 ,设 A ( x1, y1), B ( x2, y2)( x1≠ 177。 x2, y1≠ 177。 y2), A , B 都在椭圆上 , ∴ 𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2= 1 ,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2= 1 ,两式相减得𝑥12 𝑥22𝑎2+𝑦12 𝑦22𝑏2= 0 . ∴( 𝑥1 𝑥2)( 𝑥1+ 𝑥2)𝑎2+( 𝑦1 𝑦2)( 𝑦1+ 𝑦2)𝑏2= 0 , 即𝑦1 𝑦2𝑥1 𝑥2= 𝑏2( 𝑥1+ 𝑥2)𝑎2( 𝑦1+ 𝑦2)= 𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0.故 kAB= 𝑏2𝑥0𝑎2𝑦0. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ② 运用类比的手法可以推出 :已知 AB 是双曲线𝑥 2𝑎 2−𝑦 2𝑏2= 1 的弦 ,中点M ( x 0 , y 0 ), 则 k AB =𝑏2𝑥 0𝑎 2 𝑦0。 已知抛物线 y2= 2 px ( p 0 ) 的弦 AB 的中点 M ( x 0 , y 0 ), 则 k AB =𝑝𝑦0. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .这类问题常见的有两种类型 : ( 1 ) 已知斜率 ,求平行弦的中点的轨迹方程。 ( 2 ) 过某定点作圆锥曲线的 割线 ,求截得弦的中点的轨迹方程 . 上述两种类型均与弦的中点有关 ,因此 ,可采用点差法 ( 设而不解 ,两式相减法 ) 来求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例题 7 】 已知椭圆的两个焦点为 F1( 0 , 2 2 ), F2( 0 , 2 2 ), 离心率e=2 23. ( 1 ) 求椭圆方程 . ( 2 ) 一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N , 且线段MN 中点的横坐标为 12, 求直线 l 倾斜角的取值范围 . 思路分析 :涉及与中点弦有关的问题 ,不妨尝试用 “ 点差法 ”. 解 : ( 1 ) ∵ c= 2 2 , e=𝑐𝑎=2 23, ∴ a= 3 , c= 2 2 . ∴ b2= 1 . ∴ 椭圆方程为𝑦29+x2= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 ( 2 ) 设点 M ( x1, y1), N ( x2, y2), 且 MN 的中点为 P 12, 𝑦0 , kMN=k ( k ≠ 0 ), 则𝑦129+ 𝑥12= 1 ,𝑦229+ 𝑥22= 1 . 两式相减 ,得( 𝑦1 𝑦2)( 𝑦1+ 𝑦2)9+ ( x1 x2)( x1+x2) = 0 . ∴𝑦1 𝑦2𝑥1 𝑥2= 9 ( 𝑥1+ 𝑥2)𝑦1+ 𝑦2. ∴ y0=92 𝑘. 由于点 12,92 𝑘 在椭圆𝑦29+x2= 1 的内部 , ∴92( 2 𝑘 )219+14 1 ,化简得 k2 3 . 解得 k 3 或 k 3 . ∴ 直线 l 倾斜角的取值范围是。