20xx北师大版选修2-1高中数学322抛物线的简单性质

20xx北师大版选修2-1高中数学322抛物线的简单性质内容摘要：

线的位置关系 . 解 :由题意 ,设直线 l 的方程为 y 1=k ( x + 2 ) . 由方程组 y 1 = k ( x + 2 ),y2= 4x ,( * ) 得 ky2 4 y + 4 ( 2 k + 1 ) =0. ① ( 1 ) 当 k = 0 时 ,由方程 ① 得 y = 1 .把 y = 1 代入 y2=4x ,得 x=14. 这时 ,直线 l 与抛物线只有一个公共点 14, 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 当 k ≠ 0 时 ,方程 ① 的判别式为 Δ = 16 ( 2k2+k 1 ) . ① 由 Δ =0 ,即 2k2+k 1=0 ,解得 k= 1 或 k=12. 于是 ,当 k= 1 或 k=12时 ,方程 ① 只有一个解 ,从而方程组 ( * ) 只有一个解 .这时 ,直线 l 与抛物线只有一个公共点 . ② 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 1 k 12. 于是 ,当 1 k 12,且 k ≠ 0 时 ,方程 ① 有两个解 ,从而方程组 ( * ) 有两个解 .这时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ③ 由 Δ 0 ,即 2k2+k 10 ,解得 k 1 或 k12. 于是 ,当 k 1 或 k12时 ,方程 ① 没有实数解 ,从而方程组 ( * ) 没有解 .这时 ,直线 l 与抛物线没有公共点 . 综上 ,我们可得 当 k= 1 或 k=12或 k = 0 时 ,直线 l 与抛物线只有一个公共点。 当 1 k 12,且 k ≠ 0 时 ,直线 l 与抛物线有两个公共点。 当 k 1 或 k12时 ,直线 l 与抛物线没有公共点 . 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 解决直线与圆锥曲线的交点问题时 ,主要方法是构建一元二次方程 ,判断其解的个数 ,确定斜率或直线的倾斜角时 ,应特别注意斜率为 0和斜率不存在两种情形 ,还应注意在抛物线中 ,直线和曲线有一 个公共点并不一定相切 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 4 】 如图 , 已知抛物线 y2= x 与直线 y = k ( x + 1 )( k ≠ 0 ) 相交于A , B 两点 , 且直线与 x 轴交于点 N. ( 1 ) 求证 : OA ⊥ OB。 ( 2 ) 当 △ OAB 的面积等于 10 时 , 求 k 的值 . 思路分析 :利用根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 1 ) 证明 :设 A ( y12, y1), B ( y22, y2) . ∵ N ( 1 , 0 ), NA = ( 1 y12, y1), NB = ( 1 y22, y2), 由 A , N , B 共线 , y2 y2y12=y1 y1y22, ∴ y2 y1=y1y2( y1 y2) . 又 y1≠ y2, ∴ y1y2= 1. ∴ OA OB =y1y2+ y12y22=y1y2( 1 + y1y2) =0 , ∴ OA ⊥ OB . 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 2 ) 解 : S △OAB=12 1 |y2 y1| , 由 y2= x ,y = k ( x + 1 )得 ky2+y k = 0 . ∴ y1+y2= 1k, y1y2= 1. ∴ S △OA B=12 1 |y2 y1|=12 1k2+ 4 = 10 , ∴ k = 177。 16. 点评 解决直线与抛物线位置关系问题 ,常常需要根据题目条件选择恰当的方法 ,以便解题过程简便易行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 易错点 因忽视斜率不存在及二次项系数而漏解 【典型例题 5 】 求过点 P ( 0 , 1 ) 且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的直线方程 . 错解 :设所求直线方程为 y = k x + 1 . 由方程组 y = kx + 1 ,y。