20xx北师大版选修2-1高中数学311椭圆及其标准方程

20xx北师大版选修2-1高中数学311椭圆及其标准方程内容摘要：

52 2 2= 2 10 .即a= 10 . 又 c= 2 , ∴ b2=a2 c2= 6 . ∴ 所求椭圆的方程为𝑦210+𝑥26= 1 . 反思 根据已知条件 ,判定焦点的位置 ,设出椭圆的方程是解决此题的关键 . 探究一 探究二 探究三 探究四 焦点三角形问题 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1, F2构成的 △ F1PF2称为焦点三角形 ,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义 ,三角形中的正弦定理、余弦定理等知识 .对于求焦点三角形的面积 ,若已知 ∠ F1PF2,可利用 S=12ab s in C 把 | P F1| | P F2|看成一个整体 ,运用公式 | P F1|2+ | P F2|2= ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| | P F2|及余弦定理求出 | P F1| + | P F2| ,而无须单独求出 ,这样可以减少运算量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3 】 已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2= 1 ( a b 0 ) 上一点 P , F1, F2为椭圆的焦点 , 若 ∠ F1PF2= θ , 求 △ PF1F2的面积 . 思路分析 :根据椭圆的定义可知 | P F1| + | P F2|= 2 a ,两边平方可得| P F1|2+ | P F2|2+ 2 | P F1| | P F2|= 4 a2.在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得| P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2| co s ∠ F1PF2= 4 c2,两式相减可求 | P F1| | P F2| ,再由 𝑆△ 𝑃 𝐹1𝐹2=12| P F1| | P F2| s in θ 求面积 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : 如图所示 ,由椭圆定义 ,得 | P F1| + | P F2|= 2 a. 而在 △ PF1F2中 ,由余弦定理得 | P F1|2+ | P F2|2 2 | P F1| | P F2| co s θ = | F1F2|2= 4 c2. ∴ ( | P F1| + | P F2| )2 2 | P F1| | P F2| 2 | P F1| | P F2| co s θ = 4 c2, 即 4 ( a2 c2) = 2 | P F1| | P F2| ( 1 + c o s θ ) . ∴ 𝑆△ 𝑃 𝐹1𝐹2=12| P F1| | P F2| s in θ =b2si n 𝜃1 + c o s 𝜃=b2tan 𝜃2. 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 与焦点三角形有关的计算或证明 ,应考虑用椭圆的定义及三角形中边与角的关系 ( 应用余弦定理或正弦定理 )。