20xx北师大版选修2-1高中数学24用向量讨论垂直与平行

20xx北师大版选修2-1高中数学24用向量讨论垂直与平行内容摘要：

1 ), ∴ m ∥ n , ∴ 平面 EFG ∥ 平面 HM N . 探究一 探究二 探究三 点评 用空间向量法证明立体几何中的平行问题 ,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 ,本题中的证法二就是 .同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理 .此种类型的题主要考查数形结合、转化与化归思想 . 探究一 探究二 探究三 利用向量方法证明空间中的垂直关系 1 . 线线垂直 设直线 l1, l2的方向向量分别是 a , b ,若要证明 l1⊥ l2,只要证 a ⊥ b ,即证明a b = 0 . 2 . 线面垂直 ( 1 ) 设直线 l 的方向向量为 a ,平面 α 的法向量是 u ,若要证 l ⊥ α ,只需证a ∥ u . ( 2 ) 根据线面垂直的判定定理 . 3 . 面面垂直 ( 1 ) 根据面面垂直的判定定理 . ( 2 ) 证明两个平面的法向量垂直 ,则可证明两个平面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例题 5 】 在正方体 A B CD A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 为 AC 的中点 . 证明 : ( 1 ) BD 1 ⊥ AC。 ( 2 ) BD 1 ⊥ EB 1 . 思路分析 :证明线线垂直 ,即证它们的方向向量垂直 ,即 a b = 0 . 探究一 探究二 探究三 证明 :以 D 为原点 , DA , DC , DD1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D x yz. 设正方体的棱长为 1 ,则 B ( 1 , 1 , 0 ), D1( 0 , 0 , 1 ), A ( 1 , 0 , 0 ), C ( 0 , 1 , 0 ), E 12,12, 0 , B1( 1 , 1 , 1 ) . 探究一 探究二 探究三 ( 1 ) 𝐵 𝐷1 = ( 1 , 1 , 1 ), 𝐴 𝐶 = ( 1 , 1 , 0 ), ∴ 𝐵 𝐷1 𝐴 𝐶 = ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) 1 + 1 0 = 0 , ∴ 𝐵 𝐷1 ⊥ 𝐴 𝐶 , ∴ BD1⊥ A C . ( 2 ) 𝐵 𝐷1 = ( 1 , 1 , 1 ), 𝐸 𝐵1 = 12,12, 1 , ∴ 𝐵 𝐷1 𝐸 𝐵1 = ( 1 ) 12+ ( 1 ) 12+ 1 1 = 0 , ∴ 𝐵 𝐷1 ⊥ 𝐸 𝐵1 , ∴ BD1⊥ EB1. 探究一 探究二 探究三 点评 向量 a , b 的数量积 a b = 0 ,表示 a ⊥ b ,也表示它们的基线垂直 ,这是向量中一个最重要的应用 ,而且我们还可以利用这一结论来证明线面、面面垂直 . 探究一 探究二 探究三 【典型例题 6 】 在正方体 A B C D A1B1C1D1中 , E , F 分别是 BB1, D1B1的中点 . 求证 : EF ⊥ 平面 B1A C . 思路分析 :可以从几何的角度或向量运算的角度进行证明 . 证法一 :如图 ,取 A1B1的中点 G ,连接 EG , FG , A1B ,则 FG ∥ A1D1, EG ∥ A1B. ∵ A1D1⊥ 平面 A1B , ∴ FG ⊥ 平面 A1B. ∵ A1B ⊥ AB1, ∴ EG ⊥ AB1. 由三垂线定理 ,得 EF ⊥ AB1. 同理 EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 证法二 :设 𝐴 𝐵 = a , 𝐴 𝐷 = c , 𝐴 𝐴1 = b ,则 𝐸 𝐹 = 𝐸 𝐵1 + 𝐵1F =12( 𝐵 𝐵1 + 𝐵1𝐷1 ) =12( 𝐴 𝐴1 + 𝐵 𝐷 ) =12( 𝐴 𝐴1 + 𝐴 𝐷 − 𝐴 𝐵 ) =12( a +b +c ), 𝐴 𝐵1 = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐴1 = a + b . ∴ 𝐸 𝐹 𝐴 𝐵1 =12( a + b + c ) ( a + b ) =12( b2 a2+ c a +c b ) =12( | b |2 | a |2+ 0 + 0 ) = 0 . ∴ 𝐸 𝐹 ⊥ 𝐴 𝐵1 ,即 EF ⊥ AB1. 同理 , EF ⊥ B1C. 又 ∵ AB1∩ B1C = B1, ∴ EF ⊥ 平面 B1A C . 探究一 探究二 探究三 证法三 :设正方体的棱长为 2 ,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则A ( 2 , 0 , 0 ), C ( 0 , 2 , 0 ), B1( 2 , 2 , 2 ), E ( 2 , 2 , 1 ), F ( 1 , 1 , 2 ) . ∴ 𝐸 𝐹 = ( 1 , 1 , 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ), 𝐴 𝐵1 = ( 2 , 2 , 2 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 0 , 2 , 2 ), 𝐴 𝐶 = ( 0 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 0 ) = ( 2 , 2 , 0 ) . ∴ 𝐸 𝐹 𝐴 𝐵1 = ( 1 , 1 , 1 ) ( 0 , 2 , 2 ) = ( 1 ) 0 + ( 1 ) 2 + 1 2 = 0 , 𝐸。