20xx北师大版选修2-1高中数学25夹角的计算

20xx北师大版选修2-1高中数学25夹角的计算内容摘要：

为其补角 ,才可以作为两条异面直线的夹角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 直线与平面的夹角 设直线 l 的方向向量为 m ,平面 α 的法向量为 n ,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ ,则 sin θ =| cos 􀎮 m , n 􀎮 |=𝑚 𝑛|𝑚 | |𝑛 |或 c o s θ = sin 􀎮 m , n 􀎮 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 3 】 已知正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面边长为 a , 侧棱长为 2 a , 求 AC 1 与侧面 AB 1 的夹角 . 思路分析 :利用正三棱柱的性质 ,建立适当的空间直角坐标系 ,写出有关点的坐标 .求角时有两种思路 :一是由定义找出线面角 ,取 A 1 B 1 的中点 M ,连接 C 1 M ,证明 ∠ C 1 AM 是 AC 1 与平面 AB 1 的夹角。 另一种是利用平面 AB 1 的法向量 n = ( λ , x , y ) 求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 解 : ( 方法一 ) 建立如图所示的空间直角坐标系 , 则 A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 0 , a , 0 ), A1( 0 , 0 , 2 a ), C1 32a ,𝑎2, 2 a . 取 A1B1的中点 M , 则 M 0 ,𝑎2, 2 a ,连接 AM , MC1, 有 𝑀 𝐶1 = 32a , 0 , 0 , 𝐴 𝐵 = ( 0 , a , 0 ), 𝐴 𝐴1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . ∴ 𝑀 𝐶1 𝐴 𝐵 = 0 , 𝑀 𝐶1 𝐴 𝐴1 = 0 . ∵ AB ∩ AA1=A , ∴ MC1⊥ 平面 AB1. ∴∠ C1AM 是 AC1与侧面 AB1的夹角 . 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵ 𝐴 𝐶1 = 32a ,𝑎2, 2 a , 𝐴 𝑀 = 0 ,𝑎2, 2 a , ∴ 𝐴 𝐶1 𝐴 𝑀 = 0 +𝑎24+ 2 a2=9 𝑎24. 而 | 𝐴 𝐶1 |= 3 𝑎24+𝑎24+ 2 𝑎2= 3 a , | 𝐴 𝑀 |= 𝑎24+ 2 𝑎2=32a , ∴ co s 𝐴 𝐶1 , 𝐴 𝑀 =9 𝑎24 3 a 3 𝑎2= 32. ∴ 𝐴 𝐶1 , 𝐴 𝑀 =π6,即 AC1与侧面 AB1的夹角为π6. 探究一 探究二 探究三 探究四 ( 方法二 ) 建立同方法一的空间直角坐标系 ,则 𝐴 𝐴1 = ( 0 , 0 , 2 a ) . 设侧面 AB1的法向量 n = ( λ , x , y ), ∴ n 𝐴 𝐵 = 0 ,且 n 𝐴 𝐴1 = 0 . ∴ a x= 0 ,且 2 a y= 0 . ∴ x= y= 0 ,故 n = ( λ , 0 , 0 ) . ∵ 𝐴 𝐶1 = 32a ,𝑎2, 2 a , ∴ co s 𝐴 𝐶1 , n =𝑛 A C1 |𝑛 || A C1 |= 𝜆 32a|𝜆 | 3 a= 𝜆2 |𝜆 |. 探究一 探究二 探究三 探究四 设 AC1与侧面 AB1的夹角为 θ , ∵ s in θ =| co s 𝐴 𝐶1 , n | =12, ∴ θ =π6,即 AC1与侧面 AB1的夹角为π6. 反思 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系 ,再用向量的有关知识求解线面角 .本题一般的解法是可先求平面法向量与斜线的夹角 ,再进行换算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 平面间的夹角 利用向量法求平面间的夹角 ,先分别求出两个平面的法向量 ,再利用向量的夹角公式求出两个法向量的夹角 ,最后根据平面间的夹角的取值范围得出结论 . 探究一 探究二 探究三 探究四 【典型例题 4 】 等边 △ ABC 的边长为 4 , CD 是 AB 边上的高 , E , F 分别是 AC 和 BC 边上的中点 ( 如图 ① ), 现将 △ A B C 沿 CD 翻折成直二面角A DC B ( 如图 ② ) . 求平面 A。